北師大版初二(上)第一章勾股定理中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

1、專題：勾股定理中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【例1】如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ,連接BQ,若PA=6,PB=8,PC=10,則四邊形APBQ的面積為_【例2】閱讀下面材料：小陽(yáng)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖(1),O為等邊ABC內(nèi)部一點(diǎn),且OA:OB:OC=1:2:3，求AOB的度數(shù)。小陽(yáng)是這樣思考的：圖(1)中有一個(gè)等邊三角形,若將圖形中一部分繞著等邊三角形的某個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60,會(huì)得到新的等邊三角形,且能達(dá)到轉(zhuǎn)移線段的目的。他的作法是：如圖(2),把ACO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,得到ABO,連接OO.則AOO是等邊三角形,故OO=OA,至此,通過(guò)旋轉(zhuǎn)將線

2、段OA、OB、OC轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形OOB中。(1)請(qǐng)你回答：AOB=_(2)參考小陽(yáng)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：已知：如圖(3),四邊形ABCD中,AB=AD,DAB=60,DCB=30，AC=5，CD=4.求四邊形ABCD的面積?！靖櫨毩?xí)】1. 如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),連接AE、BE、CE,將ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置。若AE=1,BE=2,CE=3,則BEC=_度。2. 在ABC中,A=90,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,且EDF=90,連接EF,證明：BE2+CF2=EF2.3. 如圖,P為正ABC內(nèi)的一點(diǎn),PA=2,PB=4,PC=23，

3、求正三角形ABC的面積。4. 已知ABC是等腰三角形，AB=AC.(1)特殊情形：如圖1,當(dāng)DEBC時(shí),有DB_EC.(填“”,“”或“=”)(2)發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0180)到圖2位置,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。(3)拓展運(yùn)用：如圖3,P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),ACB=90，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度數(shù)。5.如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P到點(diǎn)A,B和C的距離分別為1,2,3,將ABP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至CBP,連接PP.(1)求證：BPP是等腰直角三角形；(2)求APB的度數(shù)。6. 如圖,四邊形AB

4、CD是正方形,ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，連結(jié)AM、CM.(1)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為3+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)。7. 如圖1，在ABC中，BAC=120，AB=AC，將FAG繞著頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，邊AF、AG分別交線段BC于點(diǎn)D、E，且FAG=60.（1）如圖2，當(dāng)CAF=30時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE+CD與DE之間的等量關(guān)系式，等量關(guān)系式是：_；（2）觀察猜想：如圖1，當(dāng)0CAF”或“”）；（3）如果DE2+CD2=BE2，求CAF的度數(shù).8. (1)探究發(fā)現(xiàn)：下面是一道例題及其解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：如圖在等邊ABC內(nèi)部,有一點(diǎn)P,若APB=150.求證：AP2+BP2=CP2證明：將APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到APB,連接PP,則APP為等邊三角形APP=60PA=PPPC=_APB=150BPP=90PP2+BP2=_即PA2+PB2=PC2(2)類比延伸：如圖在等腰三角形ABC中,BAC=90,內(nèi)部有一點(diǎn)P,若APB=135，試判斷線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。