相似三角形總復(fù)習(xí)模型總結(jié)

1、三角形相似總復(fù)習(xí)第一部分相似三角形知識要點大全知識點1.相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。(即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形)解讀：(1)兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到.(2) 全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同.(3) 判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān).例1放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變.解：是相似圖形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同.例2 下列各組圖形：兩個平行四邊形；兩個圓；兩個矩形；有一個內(nèi)角形；兩個正五邊形；有一個內(nèi)

2、角是100的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的是序號).解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、 角形都屬于形狀不唯一的圖形， 而圓、正多邊形、頂角為100。的等腰三角形的形狀不唯一, 案：.知識點2比例線段80的兩個等腰三角(填等腰三它們都相似.答對于四條線段a,b,c,d ,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等,a:b=c:d )那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段. 成比例，記作-b解讀：(1)四條線段a,b,c,dc=(或a:b=c:d ),不能寫成其他形式，即比例線段 d有順序性.(2)在比例式a C 亠=一（或

3、a:b=c:db d）中,比例的項為a,b,c,d ，其中a,d為比例外項，b,c為比例內(nèi)項，d(3)3是第四比例項.(3)如果比例內(nèi)項是相同的線段，即=b或a:b=b:c，那么線段b叫做線段和的比例中項。c但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另a b通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，一個單位也可以，因為整體表示兩個比相等.a例3 .已知線段 a=2cm, b=6mm,求一.b分析：求 旦即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比.b3例4 .已知a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= dm 求c的長度.2分析：由a,b,c,d 成比例，寫出比例

4、式 a:b=c:d，再把所給各線段 a,b,d 統(tǒng)一單位后代入求 c. 知識點3.相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.解讀：(1)正確理解相似多邊形的定義，明確“對應(yīng)”關(guān)系.(2)明確相似多邊形的“對應(yīng)”來自于書寫，且要明確相似比具有順序性.例5.若四邊形ABCD勺四邊長分別是 4, 6, 8, 10,與四邊形ABCD相似的四邊形 ABCD的最大邊長為 30,則四邊形 A B C D的最小邊長是多少？分析：四邊形 ABCD與四邊形AiBQD相似，且它們的相似比為對應(yīng)的最大邊長的比，即為11，再根據(jù)相似3多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長.

5、知識點4 相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形.解讀：(1)相似三角形是相似多邊形中的一種；(2) 應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；(3) 相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；(4) 相似用“S”表示，讀作“相似于”；(5) 相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比.注意：相似比是有順序的，比如 AB3A A1B1C，相似比為 k,若 ABGsABC則相似比為 1。若兩個三角形的相似比為1，則這兩個三角形全等，全等三k角形是相似三角形的特殊情況。若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；角形相似，則這兩個三角形不一定全等.DE=2, BC=4則和的相似比是多少？點

6、 D, E例6.分別是AB若兩個三C如圖，已知 ADEA ABCAC的中點嗎？注意：解決此類問題應(yīng)注意兩方面：解：因為 AD0A ABC所以史BC(1)相似比的順序性，(2)圖形的識別.AD AE DE 2 1=，因為=,AB ACBC 4 2知識點(1)(2)(3)(4)AD AE 1所以=，所以D, E分別是AB, AC的中點.AB AC 25.相似三角的判定方法定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似；平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或其他兩邊的延長線)所構(gòu)成的三角形與原三角形相似. 如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似. 如果一個三角的

7、兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形 相似.如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似. 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似.ACD與 ABC相似？試分別加以列舉.例7 .如圖，點D在 ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知， 兩個三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個條件即可.解：當(dāng)滿足以下三個條件之一時， ACDA ABC條件一:知識點(1)(2)2=竺 /仁/B;條件二：/ 2=/ ACB條件三：，AC ABACDW ABC已有公共角/

8、 A,要使此即 AC2=AD - AB6 .相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比； 相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方.例 8.如圖，已知 ADEA ABC AD=8 BD=4, BC=15 EC=7(1)求DE AE的長；（2） 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例.15C分析：此題重點考查由兩個三角形相似，可得到對應(yīng)邊成例，即.例 9.已知 AB3A AiBiG, =23AB ABG的周長為20cm面積為40cm2.ABi求（1 ） ABG的周長；（2） AiBiCi的面積.分析：根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比；面積之

9、比等于相似比的平方求解.易求出 AiBiG的周長為30cm; ABQ的面積90cn2第二部分相似三角形模型分析大全、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識（一） A字型、反 A字型（斜 A字型）C （平行）（二） 8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一線三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型:（六）雙垂型:、相似三角形判定的變化模型a c一線三直角的變形第三部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形如圖,梯形ABCD中，AD / BC,對角線 AC、BD交于點 0, BE/ CD交CA延長線于 E.0C2=0A 0E .求證

10、:已知:如圖， ABC中，點E在中線AD上，NDEB =NABC .求證：（1） DB2 =DE OA ；（2 乙 DCE =NDAC .例3:已知：如圖，等腰 ABC中，AB = AC, AD丄BC于D , CG/ AB, BG分別交AD、AC于E、F .求證：BE EF EG .相關(guān)練習(xí):1如圖，已知 AD為 ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證：FD = FB FC .2、已知: 交于一點AD是 Rt ABC中/A的平分線，/ C=90, EF是AD的垂直平分線交 AD于M, EF、BC的延長線2求證：(1) AMIEVA NMD; (2)ND 2 =NC- NB3、已知：如圖

11、，在 ABC中，/ ACB=90 , CD! AB于D, E是AC上一點，CF丄BE于F。 求證：EB- DF=AE- DB(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;5.已知：如圖，在Rt ABC中,/C=90,BO2,A(=4,P是斜邊AB上的一個動點，PDIAB交邊 AC于點D (點D與點 A C都不重合)，E是射線DC上一點，且/ EP&/ A 設(shè)AP兩點的距離為 “ BEP的面積為y.(1)求證：AE=2PE(3)當(dāng) BEP與 ABC相似時，求 BEP的面積.雙垂型1、如圖，在 ABC中，/ A=60, BD CE分別是AC AB上的高求證：(ABDA ACE (2) ADEA

12、ABC (3)BC=2ED2、如圖，已知銳角 ABC , AD、CE分別是BC、AB邊上的高， ABC和 BDE的面積分別是 27和3,DE=6 J2，求：點B到直線AC的距離。共享型相似三角形1、 ABC是等邊三角形，D、B C E在一條直線上，/ DAE=I2O，已知bD=1, CE=3 ,求等邊三角形的邊2、已知：如圖，在 Rt ABC 中，AB=AC,/ DAE =45求證：(1) ABEsaCD ;(2) BC2 =2BE CD .一線三等角型相似三角形例1 :如圖，等邊 ABC中，邊長為（1）求證： BDEsA CFD（2）當(dāng) BD=1, FC=3 時，求 BE6, D 是 BC

13、上動點，/ EDF=60例 2: (1)在 AABC 中，AB = AC=5 , BC =8，點P、Q分別在射線CB、AC上（點P不與點C、點B重合），且保持NAPQ =NABC.若點P在線段CB上（如圖），且BP =6，求線段CQ的長;若BP =x , CQ =y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;CCC（2）正方形ABCD的邊長為5 （如下圖），點P、Q分別在直線CB、DC上（點P不與點C、點B重合），且保持NAPQ =90。當(dāng) CQ =1 時,求出線段BP的長.例 3:已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, ADv BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.(1)如圖8

14、, P為AD上的一點，滿足/ BPC=/ A.求證； ABPsDPC求AP的長.(2)如果點P在AD邊上移動(點P與點A、D不重合)，且滿足/ BPE=/ A, PE交直線BC于點E,同時交直線DC于點Q,那么當(dāng)點Q在線段DC的延長線上時，設(shè) AP=x, CQ= y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;當(dāng)CE= 1時，寫出AP的長.C例 4:如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC , AB =CD = BCM為頂點作NEMF =NB，射線ME交腰AB于點E，射線(1) 求證： MEF BEM ;(2) 若 BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；=6 , AD =3 .點M為

15、邊BC的中點，以MF交腰CD于點F，聯(lián)結(jié)EF .(3) 若EF丄CD，求BE的長.相關(guān)練習(xí):E在AC邊上，且1、如圖，在 ABC中，AB=AC=8 , BC=10, D是BC邊上的一個動點，點求證： ABDs DCE ;如果BD =x , AE=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量當(dāng)點D是BC的中點時，試說明 ADE是什么三角形，并說明理由.2、如圖，已知在 ABC中， AB=AC=6, BC=5 , D是AB上一點，BD=2, E是BC上一動點，聯(lián)結(jié) DE ,并作NDEF =NB，射線EF交線段AC于備用圖19(1)求證： DBEsA ECF ;當(dāng)F是線段AC中點時，求線段 BE的長;FC

16、的長.(3)聯(lián)結(jié)DF，如果 DEF與 DBE相似，求3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD BC,且 BC =6, AB=DC=4，點 E 是 AB 的中點.求證： BEP CPD;B、C不重合），且滿足/ EPF = / C, PF交直線CD于點F ,（1）如圖，P為BC上的一點，且 BP=2 .（2）如果點P在BC邊上移動（點 P與點 同時交直線 AD于點M,那么BP=x , DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的 當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè) 定義域；9 當(dāng)Smf =4$卑時，求BP的長.（第 25題圖）AD（備用圖）4、如圖，已知邊長為3的等邊比ABC，點F在

17、邊BC上，CF ,點E是射線BA上一動點，以線段EF為邊向右側(cè)作等邊心EFG，直線eg, FG交直線AC于點M，N寫出圖中與ABEF相似的三角形;(2)證明其中一對三角形相似;設(shè)BE =x,MN =y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;(4)若AE =1，試求也GMN的面積.一線三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3，點P是AD上的一個動點，且和點A,D不重合，過點P作PE丄CP，交邊AB于點E,設(shè)PD = X, AE = y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。例 2、在 AABC 中，N C =90o,AC =4,BC =3,0 是 AB 上的一