2015年普通高等學(xué)校招生全國考試北京市文數(shù)卷文檔版

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國考試數(shù)學(xué)(文)(北京卷)本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在 試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本市卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選 出符合題目要求的一項(xiàng)。(1) 若集合 A= x|5vxv2，B= x匚3vxv 3，則 A B=A. x|3v xv 2B. x|5v xv 2C. x| 3v x v 3D. x|5vx v 3(2) 圓心為(1, 1)且過原點(diǎn)的圓的方程是2 2 2 2(A) (x-1) 2+ (y-1) 2=1( B) (x+1) 2+ (y+1) 2=

2、1(C) (x+1) 2+ ( y+1) 2=2( D) (x-1) 2+ (y-1) 2=2(3) 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()(A) y=x2sinx( B) y=x2cosx(C) Y=|ln x|(D) y=2x(4) 某校老年，中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體情況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年人數(shù)為()(A) 90(B) 100(C) 180( D 300類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)4300(5)執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的k值為結(jié)束(A) 3(B) 4 (C)5(D)6(6) 設(shè)a, b是非零向量，“

3、a- b=|a|b ”是“ a/b”的(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C) 充分必要條件(D )既不充分也不必要條件(7) 某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(A)1(B)(B)(D)2fl WK!Man（8）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況 注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程 在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為加油時(shí)間加油量（升）in油時(shí)的累計(jì)里程（千 米）2015 年 5 H 1 112350002015 年 5 fl 1564835600（A）6 升（B）8 升（C）10 升（D）12升第二部分（非選擇題

4、共110分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）復(fù)數(shù)i （1+i）的實(shí)數(shù)為1_（10）2-3, 32,log25三個(gè)數(shù)中最大數(shù)的是(11)在厶ABC中，a=&3,b=,B=（12） 已知（2, 0）是雙曲線-=1（b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，貝U b=.0（13） 如圖， ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為 D，P （x，y）為D中任意 點(diǎn)，則z=2x+3y的最大值為267(14) 高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成 績與總成績?cè)谌昙?jí)中的排名情況如下，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生。商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100VXVV217XVXV200VVVX30

5、0VXVX85VXXX98XVXX(I)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率(U)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買 3種商品的概率(川)如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最 大？(18) (本小題14分)如圖，在三棱錐E-ABC中，平面EAB丄平面ABC三角形EAB為等邊三角形，AC丄 BC,且 AC=B,0,M分別為AB,VA的中點(diǎn)(1) 求證:VB/平面MOC.(2) 求證：平面 MOQ平面VAB(3) 求三棱錐V-ABC的體積。(19) (本小題13分)星2設(shè)函數(shù) f (x) =一-kin ,k>02(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(II )證明：若f(x

6、)存在零點(diǎn)，貝U f(x)在區(qū)間(1, J上僅有一個(gè)零點(diǎn)(20) (本小題14分)已知橢圓一：:.-:,過點(diǎn)貌Id刼且不過點(diǎn)-的直線與橢圓一交于£1更兩 點(diǎn)，直線丄與直線 L汁:(1)求橢圓一的離心率；(II )若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；(III )試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由。2015 年普通高等學(xué)校招生全國考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）參考答案、選擇題（共8 小題，每小題 5 分，共 40 分）1)A（2）D（3）B（4）C5)B（6）A（7）C（8）B、填空題（共6 小題，每小題 5 分，共 30 分）9)1(10) log254(13) 7(14)乙數(shù)學(xué)

7、三、解答題(共6小題，共80分)(15) (共 13 分)解：(I)因?yàn)?f x =sinx 3cos /3=2sin( x) 7；33所以f X的最小正周期為2二.2兀兀兀(II)因?yàn)? _ x " ，所以 "x.333兀2兀當(dāng)x，即x 時(shí)，f X取得最小值33所以f (x)在區(qū)間o "上的最小值為f 1= -J3.1313丿(16) (共 13 分)解：(I)設(shè)等差數(shù)列 3n f 的公差為d .因?yàn)閍4 -a2，所以d =2.又因?yàn)?a a2 =10，所以 2ad =10，故 a4.所以 an =4 2(n -1) =2n 2(n =1,2, HI).(II)

8、設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)?b2 = a3 =8， d = a = 16 ，所以 q = 2， b =4.6 1所以 b6 = 4 2128.由 128=2 n 2 得 n =63.所以b6與數(shù)列 訂奩的第63項(xiàng)相等.(17) (共 13 分)解：(I)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購買了乙和丙,200所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為0.2 .1000丙、(II)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購買了甲、丁,另有200位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品,所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為100

9、 2000.3.1000(III)與(I)同理，可得：顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為200= 0.2 ,1000100 200 3001000-0.6 ,顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為性最大。(18)1000.1. 1000所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能 (共14分)解：(I)因?yàn)镺,M分別為AB , VA的中點(diǎn)， 所以O(shè)M /VE .又因?yàn)閂E二平面MOC , 所以VB/平面 MOC.(II)因?yàn)锳C = BC, O為 AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C _ AB.又因?yàn)槠矫?VAB _平面ABC，且OC 平面ABC ,所以O(shè)C _平面VAB 所

10、以平面MOC _平面VAB (III )在等腰直角三角形 ACB中，AC二BC = .2，所以 AB =2 , OC -1 所以等邊三角形VAB的面積SVAB二J3 又因?yàn)镺C _平面VAB ,1所以三棱錐C -VAB的體積等于3OC S -VAB =又因?yàn)槿忮FV - ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等,所以三棱錐V - ABC的體積為“ 3(19)(共13分)2解:x(I)由 f xkl nx (k>0 )得22 Xk由 f (x)=o 解得 x= S.f (x)與f'(x)在區(qū)間(0, ：: )上的情況如下:x(0jk)Vk(斥乜)f'(x)0+f(x)k(1

11、 1 nk)2所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,、k)，單調(diào)遞增區(qū)間是 Ck, ：)； f (x)在 x = '、k處取得極小值 f (、k)二 k(1 1nk.2(II )由(I)知，f(x)在區(qū)間(0,址)上的最小值f(Tk)= k(1Tnk).2因?yàn)閒 (x)存在零點(diǎn)，所以k(1 一1 nk)乞o，從而k - e.2當(dāng)k二e時(shí)，f (x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減，且 f(® 0,當(dāng) k >e 時(shí)，f (x)在區(qū)間(1,. e)上單調(diào)遞減，且 f(l)=?>0, f (、e)= < 0,所以f (x)在區(qū)間(1, .5上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若f(x)存在

12、零點(diǎn)，則f (x)在區(qū)間(l/e上僅有一個(gè)零點(diǎn)(20)(共 14 分)2x2解：(I)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 =1.3所以 a = ,3,b =1,c=2 .所以橢圓c的離心率弋專.(II)因?yàn)锳B過點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸，所以可設(shè)A(1, yj, B(1, yj，直線 AE 的方程 y-1 =(1 yJ(x 2).令 x = 3，得 M (3,2 - yj .所以直線BM的斜率kBM = 2也y1 =1. 3T(III)直線BM與直線DE平行.證明如下：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由(II)可知kBM =1.1-0又因?yàn)橹本€DE的斜率kDE1，所以BM / DE .21當(dāng)直線AB的斜率存在

13、時(shí)，設(shè)其方程為y = k(x-1)(k =1),設(shè) A(X1,y2),B(X2,y2),則直線 AE 的方程為 y-1 心(x-2). x1 -2令 x"，得點(diǎn) M(3，=).；W得(1 3k2)x2-6k2x 3k2Z.2 26k3k -3所以 X1 X22"X22 .1+3k21+3k2% 為-3Ty2 直線BM的斜率kBM-3 x?(3 - x2)(xi - 2)因?yàn)?kBM -1 = k(X1 一1) X1 -3"2 “)(X1 -2) -(3-X2)(x1 -2)(k -1-XjX22(咅 x2) - 31(3 - X2)(Xi - 2)(-m(3_X2)(Xi _2)所以 BM / DE .綜上可知，直線BM與直線DE平行.267°罪躺叫267°久耐皿藏從這次考試成績看， 在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是 在語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，兩同學(xué)的成績名次更靠前的科目是三、解答題(共6題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程)(15) (本小題13分)已知函數(shù) f (x) =si