第4講基本不等式

1、第4講 基本不等式一、選擇題1若x0，則x的最小值為()A2 B3 C2 D4解析x0，x4.答案D2已知a0，b0，ab2，則y的最小值是()A. B4 C. D5解析依題意得(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)取等號(hào)，即的最小值是.答案C3小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時(shí)速為v，則 ()Aa<v< BvC.<v< Dv解析設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s.a<b，v<.又vaa>0，v>a.答案A4若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab1，則()A.有最大值4 Bab有最小值C.有最大值 Da2b2有最小值解析由基本不等式，得ab，所以

2、ab，故B錯(cuò)；4，故A錯(cuò)；由基本不等式得 ，即 ，故C正確；a2b2(ab)22ab12ab12×，故D錯(cuò)答案C5已知x>0，y>0，且1，若x2y>m22m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A(，24，) B(，42，)C(2,4) D(4,2)解析x>0，y>0且1，x2y(x2y)442 8，當(dāng)且僅當(dāng)，即x4，y2時(shí)取等號(hào)，(x2y)min8，要使x2y>m22m恒成立，只需(x2y)min>m22m恒成立，即8>m22m，解得4<m<2.答案D6已知兩條直線l1：ym和l2：y(m>0)，l1與函數(shù)y|log2

3、x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A，B，l2與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a，b.當(dāng)m變化時(shí)，的最小值為 ()A16 B8 C8 D4解析如圖，作出y|log2x|的圖象，由圖可知A，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，B，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(1，)內(nèi)，而且xCxA與xBxD同號(hào)，所以，根據(jù)已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC2，xB2m，xD2，所以2m，由于m4，當(dāng)且僅當(dāng)，即2m14，即m時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為28.答案B二、填空題7設(shè)x，y為實(shí)數(shù)若4x2y2xy1，則2xy的最大值是_解析依題意有(2x

4、y)213xy1×2x×y1·2，得(2xy)21，即|2xy|.當(dāng)且僅當(dāng)2xy時(shí)，2xy取最大值.答案8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是_解析假設(shè)直線與函數(shù)f(x)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為Q，由題意知線段PQ的長(zhǎng)為OP長(zhǎng)的2倍假設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則|PQ|2|OP|24.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x0時(shí)，取“”號(hào)答案49若正數(shù)a，b滿足abab3，則ab的取值范圍是_解析由a，bR，由基本不等式得ab2，則abab323，即ab230(3)(1)0 3，ab9.答案9，)10已知

5、兩正數(shù)x，y滿足xy1，則z的最小值為_。解析zxyxyxy2，令txy，則0<txy2.由f(t)t在上單調(diào)遞減，故當(dāng)t時(shí)f(t)t有最小值，所以當(dāng)xy時(shí)，z有最小值.答案三、解答題11設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.證明 a，b，c都是正數(shù)，都是正數(shù)2c，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，2a，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立，2b，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立三式相加，得2()2(abc)，即abc.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立12已知x>0，y>0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x>0，y>0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，

6、220，xy10，當(dāng)且僅當(dāng)2x5y時(shí)，等號(hào)成立因此有解得此時(shí)xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.當(dāng)x5，y2時(shí)，ulg xlg y有最大值1.(2)x>0，y>0，·，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立由解得的最小值為.13設(shè)f(x)(x>0)(1)求f(x)的最大值；(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)<b23b.(1)解f(x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，即x2時(shí)，等號(hào)成立所以f(x)的最大值為2.(2)證明b23b23，當(dāng)b時(shí)，b23b有最小值3，由(1)知，f(a)有最大值2，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)<b23b.14?；~塘是某地一種獨(dú)具地方特色的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)形式，某研究單位打算開發(fā)一個(gè)桑基魚塘項(xiàng)目，該項(xiàng)目準(zhǔn)備購(gòu)置一塊1 800平方米的矩形地塊，中間挖出三個(gè)矩形池塘養(yǎng)魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹，池塘周圍的基圍寬均為2米，如圖，設(shè)池塘所占的總面積為S平方米(1)試用x表示S；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，才能使得S最大？并求出S的最大值解(1)由圖形知，3a6x，a.則總面積S