【精品】(新課標)高中數(shù)學知識點大全

1、高中數(shù)學常用公式及結(jié)論大全高中數(shù)學常用公式及結(jié)論大全(新課標新課標)必修必修 11、集合的含義與表示一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性：確定性、互異性、無序性。集合的表示有列舉法、描述法。描述法格式為：元素|元素的特征，例如, 5|Nxxx且2、常用數(shù)集及其表示方法（1）自然數(shù)集 N（又稱非負整數(shù)集）：0、1、2、3、（2）正整數(shù)集 N*或 N+ ：1、2、3、（3）整數(shù)集 Z：-2、-1、0、1、（4）有理數(shù)集 Q：包含分數(shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等（5）實數(shù)集 R：全體實數(shù)的集合（6）空集 ：不含任何元素的集合3、元素與集合的關系：屬于，不屬于例如：a

2、是集合 A 的元素，就說 a 屬于 A，記作 aA4、集合與集合的關系：子集、真子集、相等（1）子集的概念如果集合 A 中的每一個元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集(如圖 1)，記作或.BA AB 若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素，那么 P 不包含于 Q，記作QP （2）真子集的概念若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一個元素不屬于 A,那么集合 A 叫做集合 B的真子集(如圖 2). AB或BA.（3）集合相等：若集合 A 中的元素與集合 B 中的元素完全相同則稱集合 A 等于集合 B,記作A=B.BAABBA,5、重要結(jié)論（1）傳遞性：若，

3、則BA CB CA （2）空 集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6、含有個元素的集合,它的子集個數(shù)共有 個；真子集有1 個；非空子集有1 個n2n2n2n(即不計空集)；非空的真子集有2 個. 2n7、集合的運算：交集、并集、補集（1）一般地，由所有屬于 A 又屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B 的交集記作 AB（讀作A 交 B） ，即 AB=x|xA，且 xB BAA,B(圖 1)或BA(圖 2)AB（2）一般地，對于給定的兩個集合 A,B 把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做 A,B 的并集記作 AB（讀作A 并 B） ，即 AB=x|xA，或 xB （3）若 A

4、是全集 U 的子集，由 U 中不屬于 A 的元素構(gòu)成的集合，叫做 A 在 U 中的補集，記作, ACUA,U|ACUxxx且 注：討論集合的情況時，不要發(fā)遺忘了的情況。A8、映射觀點下的函數(shù)概念如果 A，B 都是非空的數(shù)集，那么 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做 A 到 B 的函數(shù)，記作 y=f(x)，其中 xA，yB.原象的集合 A 叫做函數(shù) y=f(x)的定義域，象的集合 C（CB）叫做函數(shù)y=f(x)的值域.函數(shù)符號 y=f(x)表示“y 是 x 的函數(shù)” ，有時簡記作函數(shù) f(x).9、分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的對應法則的函數(shù)。如 3122xxy00 xx10、求函數(shù)的

5、定義域的原則：（解決任何函數(shù)問題，必須要考慮其定義域）分式的分母不為零；01,11:xxy則如偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零；05,5:xxy則如對數(shù)的底數(shù)大于且不等于；10),2(log:aaxya且則如對數(shù)的真數(shù)大于；02),2(log:xxya則如指數(shù)為的底不能為零；,則xmy) 1(:如01m11、函數(shù)的奇偶性（在整個定義域內(nèi)考慮）（1）奇函數(shù)滿足， 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；)()(xfxf（2）偶函數(shù)滿足， 偶函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱；)()(xfxf 注：具有奇偶性的函數(shù),其定義域關于原點對稱; 若奇函數(shù)在原點有定義,則0)0(f根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是

6、奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。12、函數(shù)的單調(diào)性（在定義域的某個區(qū)間內(nèi)考慮）當時，都有，則在該區(qū)間上是增函數(shù)，圖象從左到右上升；21xx )()(21xfxf)(xf當時，都有，則在該區(qū)間上是減函數(shù)，圖象從左到右下降。21xx )()(21xfxf)(xf函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說在該區(qū)間具有單調(diào)性，該區(qū)間叫做)(xf)(xf單調(diào)（增/減）區(qū)間13、一元二次方程20axbxc(0)a （1）求根公式: （2）判別式：aacbbx2422, 1acb42（3）時方程有兩個不等實根；時方程有一個實根；時方程無實根。000（4）根與系數(shù)的關系韋達定理:，abxx21acxx2114、二

7、次函數(shù)：一般式； 兩根式cbxaxy2(0)a )(21xxxxay(0)a AB ACUA（1）頂點坐標為；（2）對稱軸方程為：x=；24(,)24bacbaaab2（3）當時，圖象是開口向上的拋物線，在 x=處取得最小值0aab2abac442 當時，圖象是開口向下的拋物線，在 x=處取得最大值0aab2abac442（4）二次函數(shù)圖象與軸的交點個數(shù)和判別式的關系：x 時，有兩個交點；時，有一個交點（即頂點） ；時，無交點。00015、函數(shù)的零點使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。例如是函數(shù)的一個零點。0)(xf0 x10 x1)(2 xxf注：函數(shù)有零點 函數(shù)的圖象與軸有交點 方程有實根 xfy x

8、fy x 0 xf16、函數(shù)零點的判定：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有。 xfy ba,0)()(bfaf那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在。 xfy ba, 0,cfbac使得17、分數(shù)指數(shù)冪 （，且）0,am nN1n （1）.如；(2) . 如；（3）；nmnmaa233xxnmnmnmaaa112331 xx()nnaa（4）當為奇數(shù)時，； 當為偶數(shù)時，.nnnaan,0|,0nna aaaa a18、有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)（）Qsra, 0（1）； （2）； （3）srsraaarssraa)(rrrbaab)(19、指數(shù)函數(shù)（且） ，其中是自變量，叫做底數(shù)，定義域是

9、 Rxay 0a1axa1a10 a圖象（1）定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過定點（0，1） ，即 x=0 時，y=1性質(zhì)（4）在 R 上是增函數(shù)（4）在 R 上是減函數(shù)xy0 xy01xy0120、若，則 叫做以 為底的對數(shù)。記作：（，）NabNbNalog1, 0aa0N其中，叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做對數(shù)的真數(shù)。aN注：指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式：logbaNbaN(0,1,0)aaN21、對數(shù)的性質(zhì)（1）零和負數(shù)沒有對數(shù)，即中；Nalog0N（2）1 的對數(shù)等于 0，即 ；底數(shù)的對數(shù)等于 1，即01loga1logaa22、常用對數(shù)：以 10 為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記為：NlgNNl

10、glog10自然對數(shù)：以 e(e=2.71828)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記為：NlnNNelnlog23、對數(shù)恒等式：NaNalog24、對數(shù)的運算性質(zhì)（a0，a1，M0，N0）(1); (2) ;log ()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNN(3) （注意公式的逆用）loglog()naaMnM nR25、對數(shù)的換底公式 (,且,且, ).logloglogmamNNa0a 1a 0m 1m 0N 推論或； .1loglogabbaloglogmnaanbbm26、對數(shù)函數(shù)（，且）：其中，是自變量，叫做底數(shù)，定義域是xyalog0a1axa), 0( 1a10 a圖

11、像定義域：(0, )值域：R過定點（1，0）性質(zhì)增函數(shù)減函數(shù)取值范圍0 x1 時，y1 時，y00 x0 x1 時，y 0 時，有. 小于取中間22xaxaaxa 或.大于取兩邊22xaxaxaxa (2)、解一元二次不等式 的步驟：)0( , 02acbxax求判別式 acb42000求一元二次方程的解： 兩相異實根 一個實根 沒有實根畫二次函數(shù) cbxaxy2的圖象結(jié)合圖象寫出解集解集 R02cbxax12xxxxx交abxx2解集 02cbxax21xxxx注：解集為 R 對恒成立 02cbxax)0(a02cbxaxRx0（3）高次不等式：數(shù)軸標根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下)（4

12、）分式不等式：先移項通分，化一邊為 0，再將除變乘，化為整式不等式，求解。如解分式不等式 ：先移項 通分11xx; 011xx; 0) 1(xxx再除變乘，解出。0) 12(xx0CByAx直線0CByAx0CByAx87、線性規(guī)劃：（1）一條直線將平面分為三部分（如圖）：（2）不等式表示直線0CByAx0CByAx某一側(cè)的平面區(qū)域，驗證方法：取原點（0，0）代入不等式，若不等式成立，則平面區(qū)域在原點所在的一側(cè)。假如直線恰好經(jīng)過原點，則取其它點來驗證，例如取點（1，0） 。（3）線性規(guī)劃求最值問題：一般情況可以求出平面區(qū)域各個頂點的坐標，代入目標函數(shù)，最z大的為最大值。選修選修 1-188、充

13、要條件 （1）若，則是充分條件，是必要條件.pqpqqp（2）若，且，則是充要條件.pqqppq注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.89、邏輯聯(lián)結(jié)詞。 “p 或 q”記作：pq; “p 且 q”記作：pq; 非 p 記作：p 90、四種命題： 原命題：若 p，則 q 逆命題：若 q，則 p否命題：若p，則q 逆否命題：若q，則p注意：（1）原命題與逆否命題同真同假，但逆命題的真假與否命題之間沒有關系； （2）p 是指命題 P 的否定，注意區(qū)別“否命題” 。例如命題 P：“若，則” ，0a0b那么 P 的“否命題”是：“若，則” ，而p 是：“若，則” 。0a0b0a0b91

14、、全稱命題：含有“任意” 、 “所有”等全稱量詞（記為）的命題，如 P：0) 1( ,2xRx特稱命題：含有“存在” 、 “有些”等存在量詞（記為）的命題，如 q：1,2xRx注：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如上述命題 p 和 q 的否定：p：， q：0) 1( ,2mRm1,2xRx92、橢圓定義：若 F1，F(xiàn)2是兩定點，P 為動點，且(為常數(shù))則 P 點的軌跡是橢圓。aPFPF221a標準方程：焦點在 x 軸: ； 焦點在 y 軸: 12222byax)0( ba12222bxay；)0( ba 長軸長=，短軸長=2b 焦距：2c 恒等式：a2-b2=c2 離心率：

15、a2ace 93、雙曲線定義：若 F1，F(xiàn)2是兩定點，（為常數(shù)） ，則動點 P 的軌跡是雙曲線。aPFPF221a圖形：如圖標準方程：焦點在 x 軸: 12222byax)0, 0(ba焦點在 y 軸: 12222bxay)0, 0(ba實軸長=，虛軸長=2b， 焦距：2c a2恒等式：a2+b2=c2 離心率：ace 漸近線方程：當焦點在 x 軸時，漸近線方程為；當焦點在 y 軸時，漸近線方程為xabyxbay等軸雙曲線：當時，雙曲線稱為等軸雙曲線，可設為。ba 22yx94、拋物線 定義：到定點 F 距離與到定直線 的距離相等的點 M 的軌跡是拋物線（如左下圖 MF=MH） 。l 圖形：方

16、程 )0( ,22ppxy22,(0)ypxp 22,(0)xpyp22,(0)xpyp 焦點： F F F F)0 ,2(p(,0)2p(0,)2p(0,)2p準線方程： 2px2px 2py 2py 注意：幾何特征：焦點到頂點的距離=；焦點到準線的距離=；2pp95導數(shù)的幾何意義：表示曲線在處的切線的斜率；)(0/xf)(xf0 xx k 導數(shù)的物理意義：表示運動物體在時刻處的瞬時速度。)(0/xf0 x96、幾種常見函數(shù)的導數(shù)F)0 ,2(p準線FMH(1) （C 為常數(shù)）. (2) .0C)()(1Qnnxxnn(3) . (4) .xxcos)(sinxxsin)(cos (5) ；

17、. (6) ; （7）xx1)(lnaaaxxln)(xxee )(21)1(xx97、導數(shù)的運算法則（1）. （2）. （3）.()uvuv()uvuvuv2( )(0)uuvuvvvv98函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負的關系：在某個區(qū)間（a , b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；0)( xf)(xfy 如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。0)( xf)(xfy 注：若函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則)(xfy 0)( xf 若函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則)(xfy 0)( xf99、判別是極大（?。┲档姆椒?(0 xf(1)求導；)(xf （2）令=0，解方程，求出所有實根)(xf 0

18、 x（3）列表，判斷每一個根左右兩側(cè)的正負情況：0 x)( xf如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；0 x0)( xf0)( xf)(0 xf 如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.0 x0)( xf0)( xf)(0 xf100、求函數(shù)在閉區(qū)間a , b上的最值的步驟： （1）求函數(shù)的所有極值；)(xf （2）求閉區(qū)間端點函數(shù)值；)(),(bfaf （3）將各極值與比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值。)(),(bfaf注意：（1）無論是極值還是最值，都是函數(shù)值，即，千萬不能寫成導數(shù)值。)(0 xf)(0/xf （2）若在某區(qū)間內(nèi)只有一個極值，則不用與端點比較也知道這個極值就是函數(shù)的最值。

19、選修選修 1-2101、復數(shù)，其中叫做實部，叫做虛部zabiab(1)復數(shù)的相等 .（） ,abicdiac bd, , ,a b c dR(2)當 a=0,b0 時,z=bi 為純虛數(shù);(3)當 b=0 時,z=a 為實數(shù);(4)復數(shù) z 的共軛復數(shù)是biaz極大值極小值(5)復數(shù)的模=.zabi| z22ab(6)i2 =-1, （-i）2 =-1.(7) 復數(shù)對應復平面上的點，zabi( , )a b102、復數(shù)的四則運算法則 (1)加：; ;()()()()abicdiacbd i(2)減：; ;()()()()abicdiacbd i(3)乘：; ;類似多項式相乘()()()()ab

20、i cdiacbdbcad i(4)除：（分子、分母乘分母共軛復數(shù)，此法稱為“分母實數(shù)化” ）)()(dicdicdicbiadicbia103、常用不等式：（1）重要不等式:若，則(當且僅當 ab 時取“=”號), a bR222abab（2）基本不等式:若，則 (當且僅當 ab 時取“=”號)0, 0baabba2 基本不等式的適用原則可口訣表示為：一正、二定、三相等 當為定值時，有最小值，簡稱“積定和最小”abba 當為定值時，有最大值，簡稱“和定積最大”ba ab104、推理：（1）合情推理：包含歸納推理（從特殊到一般）和類比推理（從特殊到特殊）（2）演繹推理：從一般到特殊。三段論是演

21、繹推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理） 、小前提（所研究的特殊情況） 、結(jié)論（根據(jù)一般原理，對特殊情況得出的判斷）105、證明：（1）直接證明：包括綜合法（又叫由因?qū)Чǎ┖头治龇ǎㄓ纸袌?zhí)果索因法）（2）間接證明：又叫反證法，通常假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立。坐標系與參數(shù)方程坐標系與參數(shù)方程106、極坐標系：其中 |OM （1）如圖，點 M 的極坐標為),(（2）極坐標與直角坐標的互化公式：; ，sin,cosyx222yx xytan107、參數(shù)方程形如（*）)( ,)()(為參數(shù)ttgytfx參數(shù)方程是借助參數(shù) ，間接給出之

22、間的關系,而普通方程是直接給出與的關系，tyx,xy如01 yx極點 O極徑點 M),(yx)極角極軸xyx（1）圓的參數(shù)方程是222ryx)( ,sincos為參數(shù)ryrx（2）橢圓的參數(shù)方程12222byax)0,( ,sincosbabyax為參數(shù)（3）參數(shù)方程與普通方程的互化：消去參數(shù)方程的參數(shù)，得到普通方程。 消去參數(shù)的方法有：公式法：用公式等1cossin22 代入法：方程（*）中，由解出，代入)(tfx )(xht )(tgy 加減消元法：方程（*）中，兩式相加（減）消去參數(shù)t請同學們試著將圓的參數(shù)方程，化為圓的標準方程)( ,sincos為參數(shù)rbyrax_，說說你用的是什么方法？提示：解參數(shù)方程問題，通常先將參數(shù)方程化為普通方程，再求解。幾何證明選講幾何證明選講108平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。 推論 1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊 推論 2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分國一腰109平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例 推論：平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長