2020屆河南省新鄉(xiāng)一中高三二模數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、3ab第 1 頁(yè)共 20 頁(yè)a b由題意cos r r_2x_2、x2122020 屆河南省新鄉(xiāng)一中高三二模數(shù)學(xué)(文)試題一、單選題21.設(shè)集合A x| 3 x 1 , B x |x 4x 12 0，則Al B()A.2, 1B.( 2，1)C.( 1,6D.( 3, 1)【答案】A【解析】 先求出集合A,B，再根據(jù)交集的運(yùn)算即可求出Al B.【詳解】因?yàn)锳 x| 3 x 1 ,B x|2 x 6，所以A B x|2 x 1.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算以及一元二次不等式的的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)z 2 i, z為Z的共軛復(fù)數(shù)，則1 z . z()A.5 iB.5 iC.7

2、 iD.7 i【答案】D【解析】由共軛復(fù)數(shù)的定義求出z，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則即可求出.【詳解】因?yàn)閦2i，所以(1 z) z 3 i 2 i 7 i.故選：D .【點(diǎn)睛】 本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量a=(0,2),b 2 3, x，且a與b的夾角為一，則 x=()3A . -2B . 2C . 1D . -1【答案】Ba b由題意COS r r，代入解方程即可得解3ab【詳解】【解第2頁(yè)共 20 頁(yè)所以x 0,且2xx212，解得X 2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題x-y 0,4

3、.若 x,y 滿足約束條件xy 2,則 z=y 2的最大值為（),cx 3x 1 0,135A .-B. C.D . 3242【答案】C【解析】根據(jù)題意知，目標(biāo)函數(shù)z= 一2的幾何意義為經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P x,yx 3與定點(diǎn)A 3, 2直線的斜率，作出不等式組表示的平面區(qū)域，求出經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)A 3, 2直線斜率的最大值即可【詳解】由題意知， 目標(biāo)函數(shù) z= -2表示經(jīng)過點(diǎn)A 3, 2和可行域內(nèi)的點(diǎn)（X，y）的直線的斜x 3由圖可知，當(dāng)直線過A,C兩點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z=l 上 有最大根據(jù)目標(biāo)函數(shù) z 的幾何意義,第3頁(yè)共 20 頁(yè)x 3故選:C【點(diǎn)睛】x聯(lián)立方程x12，解得1，所以點(diǎn)

4、C 1,3,y 3代入目標(biāo)函數(shù)可得5的最大值為-32第4頁(yè)共 20 頁(yè)本題考查非線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題； 考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、 運(yùn)算求解能力和數(shù)形 結(jié)合思想；正確理解目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱} 型A.i 3?B.i 4?C.i 5?D.i 6?【答案】C【解析】根據(jù)程序框圖的運(yùn)行，循環(huán)算出當(dāng)S 31時(shí)，結(jié)束運(yùn)行，總結(jié)分析即可得出答案【詳解】由題可知，程序框圖的運(yùn)行結(jié)果為31,當(dāng)S1時(shí)，i9;當(dāng)S19 10時(shí)，i8;當(dāng)S19 818時(shí)，i 7;當(dāng)S19 87 25時(shí)，i 6；當(dāng)S19 87 631時(shí)，i 5此時(shí)輸出S 31故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖

5、的循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知輸出結(jié)果求條件框，屬于基礎(chǔ)題6 .已知f x是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f x 3 2x，則不等式f x 0的解集為（ ）A.，fu33C.-22【答案】A【解析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的解析式以及奇偶性分析可得 得答案【詳解】f x的圖象，據(jù)此分析可5.如圖所示的程序框圖， 當(dāng)其運(yùn)行結(jié)果為 31 時(shí)，則圖中判斷框處應(yīng)填入的是（）第5頁(yè)共 20 頁(yè)解：因?yàn)閒 X是定義在R上的奇函數(shù),所以它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且作出函數(shù)圖象如圖所示,從圖象知:7 某班 45 名同學(xué)都參加了立定跳遠(yuǎn)和100 米跑兩項(xiàng)體育學(xué)業(yè)水平測(cè)試，立定跳遠(yuǎn)和100 米跑合格的人數(shù)分別為 30 和 35,兩項(xiàng)都

6、不合格的人數(shù)為5現(xiàn)從這 45 名同學(xué)中按測(cè)試是否合格分層（分成兩項(xiàng)都合格、僅立定跳遠(yuǎn)合格、僅 四種）抽出 9 人進(jìn)行復(fù)測(cè)，那么抽出來復(fù)測(cè)的同學(xué)中兩項(xiàng)都合格的有（B. 2 人【答案】C【解析】根據(jù)分層抽樣先求抽樣比，再確定兩項(xiàng)都合格的【詳解】由題意知兩項(xiàng)都不合格的有5 人，兩項(xiàng)都合格的有 25 人,僅立定跳遠(yuǎn)合格的有5 人，僅 100 米跑合格的有 10 人.91從 45 人中抽取 9 人進(jìn)行復(fù)測(cè)，則抽樣比為-4551故兩項(xiàng)都合格的 25 人中應(yīng)該抽取25 -5人.5故選：C.已知當(dāng)x 0時(shí)，2x,則不等式f x 0的解集為0本題考查函數(shù)以及函數(shù)的解析式，考查數(shù)形結(jié)合思想100 米跑合格、兩項(xiàng)都

7、不合格25 人中應(yīng)該抽取的人數(shù)第6頁(yè)共 20 頁(yè)【點(diǎn)睛】第7頁(yè)共 20 頁(yè)本題考查分層抽樣，考查對(duì)概念的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題v x1 交于 A , B 兩點(diǎn)，焦點(diǎn) F（0, -c），其中a b關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，解方程求解即可【詳解】ujuuuu因?yàn)锽A b,a,BF b, c,因?yàn)閎2a2c2，所以 a2-c2=ac,兩邊同時(shí)除以a2可得，e2e 10,解得 歹-5!或e一 （舍去），22所以該橢圓的離心率為 一512故選：A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力； 利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式是求

8、解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型y2x2y8已知橢圓 爲(wèi)+2=1(ab0)與直線丄a2b2ac 為半焦距，若 ABF 是直角三角形， 則該橢圓的離心率為（A.昌2C.亠4【答案】A【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點(diǎn)B 兩點(diǎn)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到2y_2聯(lián)立方程aya2xbxb1，解方程可得1不妨設(shè) A（0，a），B（-b，0），由題意可知,urn uuuBABF=0，由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得，b bac 0，第8頁(yè)共 20 頁(yè)9.將函數(shù) f x sin3x3cos3x 1 的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g X的6圖象，給出下列關(guān)于g x的結(jié)論:第9頁(yè)共 20 頁(yè)它的圖象關(guān)于

9、直線 x 斗對(duì)稱；它的最小正周期為 9311它的圖象關(guān)于點(diǎn)花對(duì)稱；它在519可上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A .B.C.D .【答案】B【解析】由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】將函數(shù)fx sin 3x、3cos3x 12sin 3xn31的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g x 2sin7C,求得g x92sin對(duì)稱，故不正確;它的最小正周期為，故正確;2sin 3xn1的圖象.0,不是最值，故gx的圖象不關(guān)于直線x的圖象關(guān)于點(diǎn)11,118對(duì)稱，故正確;519在上,3x5nn n,6n6 2x沒有單調(diào)性，故錯(cuò)誤,故選：B.【點(diǎn)睛】本

10、小題主要考查三角函數(shù)圖象變換, 考查三角函數(shù)的對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題10 .如圖，在正四棱柱ABCDABGD1中，AB J5AA,E, F分別為AB,BC的中點(diǎn)，異面直線AB1與GF所成角的余弦值為m，則（）第10頁(yè)共 20 頁(yè)第11頁(yè)共 20 頁(yè)A 直線AiE與直線GF異面，且m丄2B直線AiE與直線GF共面，且m 233C 直線AiE與直線GF異面，且m -1D直線AE與直線CiF共面，且3m 3【答案】B【解析】連接EF,AG,CiD,DF，由正四棱柱的特征可知 EF PAG，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線AE與直線CiF共面.，同理易得ABiPCiD，由異面直線所成【詳解】連

11、接EF，AiCi，CiD，DF,由正方體的特征得 EF P ACi，所以直線AiE與直線CiF共面.由正四棱柱的特征得ABiP CiD，所以異面直線AR與CiF所成角為DCiF.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),的角的定義可知，異面直線 ABi 與CiF所成角為DCiF，然后再利用余弦定理求解設(shè)AA J2，則AB&AAi2，則DF5，CiF3，CiD6，由余弦定理，得 m cos DGF3 6 523.6還考查了推理論證和運(yùn)算如圖所示:第12頁(yè)共 20 頁(yè)求解的能力，屬于中檔題第13頁(yè)共 20 頁(yè)11 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在詳解九章算法和算法通變本末中，提

12、出了一些新的垛積差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為積術(shù)”現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7 項(xiàng)分別為 1, 4, 8, 14, 23, 36, 54,則該數(shù)列的第【答案】B【詳解】依題意兩兩作差得兩兩作差得所以3191024.故選：B【點(diǎn)睛】轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題x212 .已知函數(shù) f (x) ae (a 0)與g(x) 2x m(m 0)的圖象在第一象限有公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)2 2 219 項(xiàng)為()(注：123Ln(n 1)(2n1)A. 1624B. 102411981560【解析】根據(jù)高階等差數(shù)

13、列的定義,求得等差數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和,利用累加法求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a19.an:1,4,8,14, 23, 36, 54,bn: 3, 4,6,13, 18,Cn:1, 2,3,5,設(shè)該數(shù)an,令bnan 1an,設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Bn，又令Cnbn 1bn，設(shè)Cn的前n項(xiàng)和為Cn.易Cnn,Cn，進(jìn)而得bn 12Cn3，所以2bn321n 3，則Bn2n(n 1)(n1)3n，所以anBn,本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用,考查累考查化歸與第14頁(yè)共 20 頁(yè)公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(第15頁(yè)共 20 頁(yè)【答案】D函數(shù)進(jìn)行求

14、值域，即可得答案【詳解】【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求最值， 考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力二、填空題13 .已知數(shù)列an是等比數(shù)列，a!1,a336，則& _【答案】6【解析】 根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，首先求得q，然后求得a2.【詳解】設(shè)an的公比為q，由a11忌36，得q236,q6，故a?6.故答案為：6【點(diǎn)睛】B.C.0,eD.0,-|e【解析】設(shè)切點(diǎn)為A x0, y0，則xoaexo2xf4x,m,通過代入法將m用x0表示，再構(gòu)造ae設(shè)切點(diǎn)為A心丫。，則$ae2x2m,0整理得4x,4xoXo2xm,0,0,2由m 2xo4xo0，解得

15、Xo2由上可知a4x)孑，令h(x)4x，/、則h(x) e4(1xex)因?yàn)閤2，所以h (x)4(1 x)0 x0，e4xh(x)在(2,)上單調(diào)遞減,e所以0h(x)，即e0篤e本題考第16頁(yè)共 20 頁(yè)本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題第17頁(yè)共 20 頁(yè)14 歐陽(yáng)修賣油翁中寫道：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其扣，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，可見行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止 若銅錢是直徑為2cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為 0.5cm 的正方形孔，若你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計(jì)）正好落入孔中的概率為【答案】14.【解析】 試題分析：正方

16、形孔的面積為0.520.25，圓的面積為12P0.2514【考點(diǎn)】 幾何概型2 215 .已知雙曲線 篤-爲(wèi)=1（a0，b0）與拋物線 y2=8x 有一個(gè)共同的焦點(diǎn) F，兩曲線的a2b2一個(gè)交點(diǎn)為 P,若|FP|=5，則點(diǎn) F 到雙曲線的漸近線的距離為 _【答案】,3【解析】設(shè)點(diǎn)P為Xo, yo，由拋物線定義知，F(xiàn)P Xo2 5，求出點(diǎn) P 坐標(biāo)代入雙曲線方程得到a,b的關(guān)系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求 解即可.【詳解】由題意得 F（2, 0），因?yàn)辄c(diǎn) P 在拋物線 y2=8x 上, |FP|=5，設(shè)點(diǎn)P為XD,y0,故答案為：,3【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其

17、幾何性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力；靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型由拋物線定義知,FPXo2 5，解得不妨取 P（3, 2、6），代入雙曲線2X2axo3yo2 6十=1，得 2-24=1,bab又因?yàn)?a2+b2=4,解得 a=1, b= ,3，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為by -x,a所以雙曲線的漸近線為 y=：3x,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,點(diǎn) F 到雙曲線的漸近線的距離第18頁(yè)共 20 頁(yè)16 .如圖，在三棱錐 A - BCD 中，點(diǎn) E 在 BD 上，EA = EB = EC = ED , BD . 2 CD , ACD 為正三角形，點(diǎn) M, N

18、 分別在 AE, CD 上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，且 AM = CN，則2當(dāng)四面體 C- EMN 的體積取得最大值 一時(shí)，三棱錐 A- BCD 的外接球的表面積為 _ .3【解析】 設(shè) ED = a,根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過計(jì)算可以證明出CE 丄 ED. AM = x,根據(jù)三棱錐的體積公式，運(yùn)用基本不等式，可以求出AM 的長(zhǎng)度，最后根據(jù)球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè) ED = a，貝UCD .、2a.可得 CE2+DE2= CD2, / CE 丄 ED.當(dāng)平面 ABD 丄平面 BCD 時(shí)，當(dāng)四面體 C - EMN 的體積才有可能取得最大值，設(shè)AM =X.1122則四面體 C - EMN

19、的體積(a - x)aX 一 ax (a - x)322122a(xax)22，當(dāng)且僅當(dāng) x -時(shí)取等號(hào).12232解得 a =2 2.此時(shí)三棱錐 A - BCD 的外接球的表面積=4n2= 32n故答案為：32n【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了球的表面積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力.三、解答題17.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且(si nA sin B)(a b) bsi nC csin C.(1)求A;第19頁(yè)共 20 頁(yè)(2)若b 2c,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，且AD ,7，求ABC的面積【答案】()A； (2)SABC2 3.3【解析】(1)利用正弦定

20、理邊化角，再利用余弦定理求解即可.uuu umuuu十十、十 f 亠冃“、仏冃八、丄(2)為AD為ABC的中線，所以2 AD AB AC再平方后利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)【詳解】(1)由(sinA sin B)(a b) bsinC可得a2b2bc c2,故28 c2b2bc.因?yàn)閎 2c,所以c 2,b4.1 =所以ABC的面積SABC-bcs inA 2 3.2【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題，同時(shí)也考查了向量在解三角形中的運(yùn)用，屬于中檔題.18 某校高三(1)班在一次語文測(cè)試結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)诒痴b內(nèi)容方面失分較為嚴(yán) 重為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早？晩讀

21、時(shí)間站起來大聲誦讀，為了解同學(xué)們對(duì)站起來大聲誦讀的態(tài)度，對(duì)全班50 名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制成如表：考試分?jǐn)?shù)85 ,95)95,105)105,115)115,125)125 ,135)135 ,145頻數(shù)5101551052 2 2由余弦定理可得cosAb c a1522bc故A.3uuuuuruuu(2)因?yàn)锳D為ABC的中線，所以2ADABAC兩邊同時(shí)平方可得4AD2行求解，再代入b 2c可解得c2,b4，再代入面積公式求解即可csin C,uiW2uuu2uun uuurAB AC 2| AB| |AC|cosA,第20頁(yè)共 20 頁(yè)贊成人數(shù)469364第21頁(yè)共 20

22、頁(yè)(1)欲使測(cè)試優(yōu)秀率為30%，則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少分？(2)依據(jù)第 1 問的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來大聲誦讀的態(tài)度與考試成績(jī)是 否優(yōu)秀的關(guān)系，列出 2X2 列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系參考公式及數(shù)據(jù)：K22n ad bc,n abed.abed a e b d2P(K %)0.1000.0500.0250.010k02.7063.8415.0246.635【答案】(1) 125 分.(2) 2X2 列聯(lián)表答案見解析，沒有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài) 度與成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系【解析】(1)計(jì)算測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得出結(jié)論；(2)由題

23、意計(jì)算并填寫列聯(lián)表，求出觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論【詳解】解：(1)因?yàn)闇y(cè)試的優(yōu)秀率為30%，所以測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為50 30% 15,由表中數(shù)據(jù)知，優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為125 分.(2)由(1)知，測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有50 0.3 15.人，其中 贊成的”有 10 人； 測(cè)試成績(jī)不優(yōu)秀的學(xué)生有50 1535人，其中 贊成的”有 22 人；填寫 2X2 列聯(lián)表如下：贊成不贊成合計(jì)優(yōu)秀10515不優(yōu)秀221335合計(jì)321850225010 13 5 22計(jì)算K232 18 15 35253780.066 2.706，第22頁(yè)共 20 頁(yè)因此，沒有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系

24、【點(diǎn)睛】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，屬于基礎(chǔ)題.19 如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)P在以BC為直徑的半圓弧上(P不與B,C重合)，E為線段BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD平面BCP.(1)證明：BP平面DCP.(2)若BC 2，當(dāng)三棱錐D BPC的體積最大時(shí)，求E到平面BDP的距離【答案】(1)見解析；(2)上33【解析】(1)由面面垂直的性質(zhì)定理，可得DC平面BPC，進(jìn)而有BP DC，再由已知可得，BP PC，即可得證結(jié)論；(2)由體積公式，要使三棱錐D BPC的體積最大時(shí)，P為弧BC的中點(diǎn)，求出PB, CP，進(jìn)而求出SBPD, SBEF,用等體積法VEBDP【

25、詳解】(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BCD平面BPC, ABCD是正方形,平面ABCD I平面BPC BC，所以DC平面BPC. 因?yàn)锽P平面BPC，所以BP DC.因?yàn)辄c(diǎn)P在以BC為直徑的半圓弧上，所以BP PC.又DC PC C，所以BP平面DCP.(2)當(dāng)點(diǎn)P位于BC的中點(diǎn)時(shí)，BCP的面積最大,三棱錐D BPC的體積也最大因?yàn)锽C 2，所以PE 1,11所以BEP的面積為丄1 1-,221 11所以三棱錐D BEP的體積為2 -.3 23VDBEP, 即可求解第23頁(yè)共 20 頁(yè)因?yàn)锽P平面DCP，所以BP DP,DP；(2.2)2( 2)26，1BDP的面積為2 ,6 . 3.2設(shè)E到平面BD

26、P的距離為d,即E到平面BDP的距離為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，空間中垂直的相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，考查用等體積法求點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題20 .設(shè)拋物線C: y22 px( p 0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為I,AB為過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的拋物線C的弦，已知以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)1,0.(1) 求P的值及該圓的方程；(2)設(shè)M為I上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作C的切線，切點(diǎn)為N，證明：MF FN【答案】(1)P2，圓的方程為：(x 1)2y24. (2)答案見解析【解析】(1 )根據(jù)題意，可知A點(diǎn)的坐標(biāo)為P，即可求出P的值，即可求出該圓2的方程；(2)由題易知，直線M的斜率存在且不為 0,設(shè) M 1,y

27、o,MN 的方程為y k(x 1) yo，與拋物線C聯(lián)立方程組，根據(jù)0,求得 y。k 丄，化簡(jiǎn)解得y -,kk進(jìn)而求得N點(diǎn)的坐標(biāo)為K，分別求出FM0,FN，利用向量的數(shù)量積為 0,即可 k k第24頁(yè)共 20 頁(yè)證出MF FN第25頁(yè)共 20 頁(yè)【詳解】 解：(1)易知A點(diǎn)的坐標(biāo)為 p, p ,所以 p 衛(wèi)(1)，解得p 2.2又圓的圓心為F 1,0,所以圓的方程為(x 1)2寸4.(2)證明易知，直線M的斜率存在且不為0,設(shè) M 1,y,MN 的方程為 yk(x 1)y。,代入C的方程，得 ky24y 4 y。h0.令16 16k y0k0,得 y。k1k 所以 ky24y 4 y0A2 2

28、k y4ky40 ,解得y2kk心2112將y代入C的方程，得x2，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為2，kk2k kuuurujir12所以 FM2, y0，F(xiàn)N2h，kk【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，利用聯(lián)立方程組、求交點(diǎn)坐標(biāo)以及向量的數(shù)量積，考查解題能力和計(jì)算能力21.已知函數(shù)f(x)(x 1)(1 lnx)3m,g(x) mx In x (m R).x(1) 求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值(2) 當(dāng)m 0時(shí)，是否存在X1,X21,2，使得 f(xj g(x2)成立？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由2222 - k唄第26頁(yè)共 20 頁(yè)【答案】(1)

29、分類討論，詳見解析；(2)0,3歸2【解析】(1)求出函數(shù)g(x)的定義域，接著求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)m分類討論。(2)假設(shè)存在 為必1,2，使得 f(xj g(x2)成立，則對(duì)x 1,2，滿足f (x)maxg(x)min，將問題轉(zhuǎn)化為求f ( x)max與9(X)min?！驹斀狻?解：(1)g (x) m (x 0),x1當(dāng)m 0時(shí)，g (x) m0恒成立，即函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0, + )，無x單調(diào)減區(qū)間，所以不存在極值.h(1)1，所以f (x)0，所以 f(x)在 1,2 上單調(diào)遞增,f(2)(21)(12)3m 4? 3m20時(shí)，令g (x) m10，得x丄，當(dāng)0 xxm1時(shí)，g (

30、x)0，當(dāng)xm時(shí)，g(x) 0,故函數(shù)1(0, ),單調(diào)減區(qū)間為m1處取得極大值，極大值為g()mg(x)的單調(diào)增區(qū)間為mm(1,m1Inm),此時(shí)函數(shù)g(x)在1 In m，無極小值.綜上，當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,無單不存在m 0時(shí)，函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,丄m、 、1，單調(diào)減區(qū)間為一,m，極大值為1 In m,無極小值(2)當(dāng) m0時(shí)，假設(shè)存在X1,X21,2，使得 f(x1)gg)成立，則對(duì)x 1,2,足f (x)maxg(x)min由f (x)(x 1)(1 In x)3m(x1,2 )可得,f (x)x(1 I nx 1 -)x x2x令h(x)(x 1)(1

31、 Inx)x Inx.x21x lnx(x1,2 )，則h (x) 1 - 0,所以h(x)在 1,2 上單調(diào)遞增，所x以h(x)所以f(X)max第27頁(yè)共 20 頁(yè)m的最小值是g(2) 2m In 2.11當(dāng)2，即0 m時(shí)，函數(shù)g(x)在 1,2 上單調(diào)遞增,m 2所以g(x)的最小值是g(1) m.11當(dāng)12時(shí)，即一m211m 1時(shí)，函數(shù)g(x)在1,上單調(diào)遞增，在,2上單mm調(diào)遞減又g(2)g(1)1In 2 2m m In 2 m，所以當(dāng)m In2時(shí)，g(x)在21,2 上的最小值是g(1)m.當(dāng)In 2 m 1時(shí)，g(x)在 1,2 上的最小值是g(2) In 2 2m所以當(dāng)0 m In 2時(shí)，g(x)在 1,2 上的最小值是g(1) m，故3(1 In 2)門3m m,2解得31m,所以In 2 m 0.4當(dāng)In 2 m時(shí)，函數(shù)g(x)在 1,2 上的最小值是g(2) In 2 2m,故3(1 In 2)3m In 2 2m,2解得3 In2m,所以In 2 m3 In 2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是0,3噸2 2 2【點(diǎn)睛】本題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問題，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題。1x t2(t為參y、3t數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程