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1、談中學(xué)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)姓名:司臻 學(xué)號(hào):200520501111 指導(dǎo)老師:程向陽摘要:思維是數(shù)學(xué)的靈魂,它激勵(lì)著人們的想象力和創(chuàng)造力,它導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展。本文論述在中學(xué)階段對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)中,主要是對(duì)抽象思維和發(fā)散思維的培養(yǎng),以及在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)字拆分,理論聯(lián)系實(shí)際,數(shù)形結(jié)合,具體與抽象相結(jié)合,變通代換及縱深聯(lián)想等方法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。關(guān)鍵詞:思維能力,中學(xué)數(shù)學(xué), 培養(yǎng)數(shù)學(xué)在提高人的素質(zhì),推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步方面扮演了一個(gè)重要的角色,馬克思說過:一種科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能真正達(dá)到完美的程度。這句話充份體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的重要性,以及在人類生活中所扮演的角色,在當(dāng)今的社會(huì)里,要求

2、人們思路開闊,頭腦開放,數(shù)學(xué)是其中重要的一環(huán),所以,我們要注重視數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。什么是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思維能力(一)數(shù)學(xué)思維的概述數(shù)學(xué)思維是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等)的本質(zhì)和內(nèi)部規(guī)律的間接反應(yīng),并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動(dòng)。它主要包括:抽象邏輯思維,發(fā)散思維,形象思維,直覺思維,辯證邏輯思維,逆向思維,空間思維,創(chuàng)造性思維。本文主要是論述:抽象思維能力和發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。(二)數(shù)學(xué)思維能力的概述 數(shù)學(xué)思維能力是人們?cè)趶氖聰?shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)所必需的各種能力的綜合。它包含以下十個(gè)方面:數(shù)學(xué)感覺與判斷;數(shù)據(jù)收集與分析;幾何直觀和空間想象;數(shù)學(xué)表示與數(shù)學(xué)建摸;數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)變

3、換;歸納猜想與合情推理;邏輯思考與演繹證明;數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)與數(shù)學(xué)洞察;數(shù)學(xué)計(jì)算和算法設(shè)計(jì);理性思維與構(gòu)建體系。 數(shù)學(xué)思維的主要類型和特征(一)抽象思維的定義及特征 人們?cè)谡J(rèn)識(shí)活動(dòng)中運(yùn)用概念、判斷、推理等思維形式對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)進(jìn)行間接的、概括的過程就叫做抽象思維。抽象思維有兩個(gè)最基本的特征:抽象性和確定性。由這兩個(gè)特征還派生出其他一些特征,如 形式性、精密性、簡(jiǎn)單性、理論性和分析性等。抽象思維是數(shù)學(xué)思維中最根本,最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一,是數(shù)學(xué)哲學(xué)觀的靈魂,只有擁有這一靈魂,才能弄清外表不同的問題之間內(nèi)在的深刻關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上澄清整個(gè)數(shù)學(xué)的定性問題。同樣,邏輯思維也是作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的主要位置。邏輯思維可用來檢驗(yàn),

4、證明數(shù)學(xué)真理,使數(shù)學(xué)文化系統(tǒng)化,體統(tǒng)化,科學(xué)化,同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著得要的作用。數(shù)學(xué)中的抽象邏輯思維包括形式邏輯思維和辨論邏輯思維,簡(jiǎn)稱抽象思維和辨證思維。在實(shí)際的教學(xué)中,要使學(xué)生具有較強(qiáng)抽象思維能力就要求數(shù)學(xué)教學(xué)力求使學(xué)生掌握一些邏輯的方法和規(guī)則,比如,掌握分析,綜合抽象,概括,類比,歸納,演繹等邏輯方法,明確命題條件與結(jié)論之間的相互制約的關(guān)系以及命題的四種形式。掌握一些推理格式和推證方法,(例如,反證法,完全歸納法,數(shù)學(xué)歸納法等)還應(yīng)要求學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握一些基本的數(shù)學(xué)方法。(二)發(fā)散思維的定義和特征發(fā)散思維又稱為分散思維,是從所給的信息中產(chǎn)生眾多信息或者是指從一個(gè)目標(biāo)出發(fā),沿著各自不同的途

5、徑去思考,探求各種答案的思維。發(fā)散思維是相對(duì)于集中性思維而言的,其主要特點(diǎn)是求異和創(chuàng)新。數(shù)學(xué)發(fā)散思維的最大特征是發(fā)散性、可變形,對(duì)同一數(shù)學(xué)問題思考是不急于歸一,提倡自由發(fā)散,其思考特點(diǎn)是提出多方面的設(shè)想和各種解體辦法,然后經(jīng)過篩選,找到科學(xué)合理的結(jié)論,突出一個(gè)“變”字,第二個(gè)特征是流暢性,其突出一個(gè)“快”字,第三個(gè)特征是變通性,突出一個(gè)“多”字,第四個(gè)特征是獨(dú)特性,突出一個(gè)“新”字。數(shù)學(xué)發(fā)散思維的實(shí)質(zhì)就是創(chuàng)新,所以數(shù)學(xué)發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的重要成分。抽象思維能力和發(fā)散思維能力的培養(yǎng)(一)抽象思維能力的培養(yǎng)抽象思維也有一定的層次性,為此,人們把抽象思維分為經(jīng)驗(yàn)型抽象思維和理論型抽象思維。在培養(yǎng)學(xué)

6、生思維能力中,初中可以進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)型抽象思維,高中階段可以更多地采用理論型的抽象思維。例1 同底的冪相除法則運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)型抽象思維:當(dāng),在運(yùn)用理論型抽象思維:因?yàn)楣嗜魟t(同底數(shù)冪相乘的法則)即只有故(除法定義)1用數(shù)字變形培養(yǎng)抽象思維能力歷來,在中學(xué)里對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)上,存在著很大的缺陷,忽視了將一個(gè)數(shù)字分化為幾個(gè)數(shù)字之和或積,將數(shù)的一種形式表式轉(zhuǎn)化為別的形式,將一組數(shù)字重新分成幾組等。我們稱之為數(shù)字變形的思維能力。例2 求和例3 試證任意自然數(shù)的立方,可分為兩個(gè)完全平方數(shù)之差。證明 設(shè) 所有的自然數(shù)為,則有在教學(xué)當(dāng)中,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立抽象的能力較弱,這就需要我們對(duì)他們動(dòng)之以理,需要我們教師去啟

7、示他們,在逐漸學(xué)習(xí)中培養(yǎng)他們的思維能力。2依靠教材培養(yǎng)抽象思維能力在抽象能力的培養(yǎng)上,主要是依靠教材進(jìn)行。如果適當(dāng)?shù)匾脗€(gè)別典型的補(bǔ)充題對(duì)學(xué)生也是很有好處的。例4 2,6,12,20,30,42,56, 2,5,10,17,26,37,50, 1,1,2,3,5,8,13,中分別總結(jié)規(guī)律。較復(fù)雜的例子:觀察: 1=114= (1+2)14+9=1+2+314+916= (1+2+3+4)并給出一般的規(guī)律在實(shí)際的教學(xué)中,有些學(xué)生自學(xué)能力差,理解能力弱。解題能力不強(qiáng)等困難,這就需要我們因人而宜進(jìn)行培養(yǎng)他們的思維能力,更幫他們疏理一下知識(shí)點(diǎn),知識(shí)線及相關(guān)知識(shí)塊的聯(lián)系。3理論聯(lián)系實(shí)際的方法培養(yǎng)抽象思維

8、能力理論和實(shí)際相結(jié)合,既是認(rèn)識(shí)與方法論的基本原理,又是教學(xué)論的基本原則。讓同學(xué)對(duì)問題從不同角度考察,讓他們縱深的聯(lián)想與推廣,這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題,解決問題的能力。例5 甲、乙兩人相約在七時(shí)和八時(shí)之間的某地會(huì)面,并約定,先到者要等候15分后才離去,問兩人在七八時(shí)之間到約定地點(diǎn)的機(jī)遇的機(jī)會(huì)有多大?解 用數(shù)形結(jié)合法,得圖如下計(jì)算相遇區(qū)面積和正方形面積之比,得相遇的機(jī)會(huì)為: 4具體與抽象相結(jié)合的方法培養(yǎng)抽象思維能力從具體到抽象,這是認(rèn)識(shí)論的基本規(guī)律,我們要幫助學(xué)生從一般的具體問題到抽象思維上,這樣有利于學(xué)生的獨(dú)立思考問題的能力,更有利于學(xué)生以后的創(chuàng)新努力。要教會(huì)學(xué)生靈活運(yùn)用,且記死板硬套,幫助學(xué)

9、生熟悉所學(xué)的知識(shí)點(diǎn),定義,定性,性質(zhì)的運(yùn)用。例6 在講絕對(duì)值概念以后學(xué)生還能記住 在具體運(yùn)用時(shí)還是毫無頭緒,錯(cuò)誤地得出,而正確的結(jié)果應(yīng)該經(jīng)過討論得出: 所以思維能力的培養(yǎng)也有很大一部分來自學(xué)生有個(gè)良好的思考縝密能力。所謂思考縝密就是全面思考,周密而不遺漏。這種習(xí)慣這也是以后我們教書中要注意培養(yǎng)學(xué)生的。在用具體與抽象相結(jié)合時(shí)的抽象思維能力,要經(jīng)常的對(duì)學(xué)生進(jìn)行潛移默化的訓(xùn)練,特別是要對(duì)經(jīng)典教材進(jìn)行訓(xùn)練。例7 解方程解 則當(dāng)且 (二)發(fā)散思維能力的培養(yǎng) 發(fā)散思維的形式有:窮舉式發(fā)散,演繹式發(fā)散,橫向發(fā)散,縱向發(fā)散,逆向發(fā)散,求異發(fā)散等,以下主要討論,橫向發(fā)散和縱向發(fā)散。 1變通代換法培養(yǎng)學(xué)生的橫向發(fā)

10、散思維能力所謂橫向發(fā)散,就是同一來源的數(shù)學(xué)信息,與相關(guān)的各方面的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),知識(shí)線,章節(jié)內(nèi)部之間,甚至各分科間的相互聯(lián)系,橫向發(fā)散有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念;公式;定理的橫向拓廣,縱向深入。適當(dāng)變更某些題目的條件和結(jié)論,在原題的基礎(chǔ)上拓寬題意“通過訓(xùn)練,提高學(xué)生思維的靈活性和延展性” 例 8 在中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),求證:變 題1 在原題已知條件下增加交于點(diǎn), 求證 變 題2 在原題已知條件下增加CFM60,求證:EF1/2 AD例9 已知是O的直徑,是的中點(diǎn),從作以為直徑的01的切線交O于為切點(diǎn),連,求,這類探究的過程,無疑會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性,能開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力,養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題,

11、獨(dú)立思考的習(xí)慣。2縱深聯(lián)想法培養(yǎng)學(xué)生的縱向發(fā)散思維能力縱向思維是由一來源的數(shù)學(xué)信息從不同方面,不同角度去縱深聯(lián)想與推廣,從特殊到一般達(dá)到深化知識(shí)的目的,有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析,解決問題能力。例 10 求證正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定植,對(duì)這個(gè)問題的思考和推證,可以發(fā)散到對(duì)以下問題的探討:正三角形外一點(diǎn)(如果規(guī)定方向)到三邊的距離之和為定值。正多邊形內(nèi)一點(diǎn)到各邊的距離之和為定值。正多面體內(nèi)(外)到各邊的距離之和為定值。 這種從正三角形內(nèi)到外,從正三角形到正多邊形,從平面圖形到空間圖形的思考,就是縱向發(fā)散思維。在教學(xué)過程中,鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法,從不同的角度和不同的途徑去尋求問題的答案,用一

12、題多解來培養(yǎng)學(xué)生縱向思維過程的靈活性。 例 11 設(shè),證明解本題主要用:綜合思維法,分析法和分析綜合法一題多解訓(xùn)練,可以拓寬學(xué)生思路,加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系,使學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度思考解題的方法和靈活的思維方式??傊诮虒W(xué)過程中,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平,教材內(nèi)容的深度和廣度以及學(xué)習(xí)過程的階段性。注意發(fā)掘和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,且記只培養(yǎng)學(xué)生的解題的僵化思維,我們教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生大膽的猜想,使學(xué)生在親身實(shí)踐中探索知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,這樣即可以發(fā)展了學(xué)生的智力,又可使學(xué)生感覺到自己動(dòng)手解決,問題的成就感,在這過程中發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)造思維,有助于以后的創(chuàng)造和發(fā)明。參考文獻(xiàn):1郭思樂、劉遠(yuǎn)圖. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) M

13、. 北京:光明出版社, 1985. 7689.2陳護(hù)國. 數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散思維的培養(yǎng)J. 集寧師專學(xué)報(bào), 2000, 第22卷第4期.12.3方延明. 數(shù)學(xué)文化導(dǎo)論 M. 南京:大學(xué)出版社, 1996. 4653. 4肖利民. 數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng) J. 濮陽教育學(xué)院學(xué)報(bào),2003 , 第2期.12.5蔡潔斐. 數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散思維的培養(yǎng) J. 數(shù)學(xué)周報(bào), 2006, 第1期. 3239.6吳建兵、王世學(xué). 怎樣培養(yǎng)學(xué)生們發(fā)散思維能力 J. 寧夏教育,1998,第9期. 46. On Training of Mathematical Thinking Ability in Middle

14、 SchoolName: Si zhen Student Number: 20052051111 Advisor: Cheng xiangyang Abstract: Thinking is the soul of mathematic. It arouses peoples imagination and the creativity; it also leads to the development of mathematic. This paper mainly talks about the importance to training of the student abstract thinking and diffusing thinking in middle school stage, and how to make use of some methods, such as combing theory w

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