湖北省宜昌金東方高中2022學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

1、2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為( )A或BCD或2如圖所示，正方體的棱，的中點分別為，則直線與平面所

2、成角的正弦值為（ ）ABCD3已知，若，則正數(shù)可以為（ ）A4B23C8D174設(shè)點是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，若，則（ ）ABCD5一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD6某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內(nèi)投入粒豆子，并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數(shù)的估計值是（ ） ABCD7設(shè)過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（ ）ABCD8設(shè)F為雙曲線C：（a0，b0）的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的

3、圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點若|PQ|=|OF|，則C的離心率為ABC2D9已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的最大值為（ ）A2B3C5D810如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（ ）ABCD11已知單位向量，的夾角為，若向量，且，則（ ）A2B2C4D612函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量，且 ，則實數(shù)的值是_14已知，則滿足的的取值范圍為_15若方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值

4、范圍是_.16已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）誠信是立身之本，道德之基，我校學(xué)生會創(chuàng)設(shè)了“誠信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進誠信教育，并用“”表示每周“水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個周期）的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（）計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)；（）若定義水站誠信度高于的為“高誠信度”，以下為“一般信度”則從每個周期的前兩周中隨機抽取兩周進行調(diào)研，計算恰有兩周是“高誠信度”的概率； （）已知學(xué)生會分別在第一個周期的第四周

5、末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.18（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.（1）當時，求M點的極坐標；（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點N，求的最大值.19（12分）已知函數(shù)，（1）當時，求不等式的解集； （

6、2）若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，求的值20（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BDDC，PCD為正三角形，平面PCD平面ABCD，E為PC的中點 （1）證明：AP平面EBD；（2）證明：BEPC21（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的值域.（2）設(shè)函數(shù)，若，且的最小值為，求實數(shù)的取值范圍.22（10分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）和曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，已知點是射線與直線的公共點，點是與曲線的公共點，求的最大值2022學(xué)年模擬測試卷參

7、考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】試題分析：因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點：純虛數(shù)2、C【答案解析】以D為原點，DA，DC，DD1 分別為軸，建立空間直角坐標系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值【題目詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則，取平面的法向量為，設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為，則sin|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C【答案點

8、睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用，屬于中檔題3、C【答案解析】首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，再代入驗證即可；【題目詳解】解：，當時，滿足，實數(shù)可以為8.故選：C【答案點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、B【答案解析】，故選B點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義. 求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 5、A【答案解析】根據(jù)題意，可得幾何體，利用體積計算即可.【題目詳解】由題意，該幾何

9、體如圖所示：該幾何體的體積.故選：A.【答案點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算，屬于基礎(chǔ)題6、D【答案解析】利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式，解出的表達式即可.【題目詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【答案點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積，考查計算能力，屬于中等題.7、C【答案解析】畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比，進而轉(zhuǎn)為坐標的表達式。寫

10、出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【題目詳解】作圖，設(shè)與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，設(shè)，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【答案點睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.8、A【答案解析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率【題目詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，即，故選A【答案點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運

11、算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來9、D【答案解析】畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【題目詳解】解：函數(shù)，如圖所示當時，由于關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又，則當時，則不滿足題意；當時，當時，沒有整數(shù)解當時，至少有兩個整數(shù)解綜上，實數(shù)的最大值為故選：D【答案點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.10、D【答案解析】先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側(cè)面三角形的高，即可求解.【題目詳解】設(shè)四個支點所在球的小圓的圓心為，球心為，由

12、題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質(zhì)可得，又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【答案點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【答案解析】根據(jù)列方程，由此求得的值，進而求得.【題目詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【答案點睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.12、D【答案解析】利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可

13、得結(jié)果.【題目詳解】因為，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以當時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【答案點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】=（1，2），=（x，1），則=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），=2=2（1，2）（x，1）=（2x，3），3（1+2x）4（2x）=1，解得：x=點睛:由向量的數(shù)乘和坐標加減法運算求得，然后利用向量共線的坐標表示列式求解x的值若=（a1，a2），=（b1，b2），則a1a2+b1

14、b2=1，a1b2a2b1=1 14、【答案解析】將f（x）寫成分段函數(shù)形式，分析得f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，f（x）x|x|，則f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則f（2x1）+f（x）0f（2x1）f（x）f（2x1）f（x）2x1x，解可得x，即x的取值范圍為，+）；故答案為：，+）【答案點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，注意分析f（x）的奇偶性與單調(diào)性15、【答案解析】由知x0，故.令，則.當時，；當時，.所以在（0，e）上遞增，在（e，+）上遞減.故，即.16、1【答案解析】作出約束條件表示的可

15、行域，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為，當目標函數(shù)經(jīng)過點時，直線的截距最大，取得最大值，即得解.【題目詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為當目標函數(shù)經(jīng)過點時，直線的截距最大此時取得最大值1故答案為：1【答案點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）；（）；（）兩次活動效果均好，理由詳見解析.【答案解析】（）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求解即可；（）設(shè)抽到“高誠信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機抽取兩周，則有兩周為“高誠信度”事件為，利用列舉法列

16、出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率計算公式求解即可；（）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.【題目詳解】（）表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù).（）設(shè)抽到“高誠信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機抽取兩周均為“高誠信度”事件為，總的基本事件為共15種，事件所包含的基本事件為共10種，由古典概型概率計算公式可得，.（）兩次活動效果均好.理由：活動舉辦后，“水站誠信度由和看出，后繼一周都有提升.【答案點睛】本題考查平均數(shù)公式和古典概型概率計算公式；考查運算求解能力；利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典概型概率的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.18、（1）點M的極坐標為或（2

17、）【答案解析】（1）令，由此求得的值，進而求得點的極坐標.（2）設(shè)出兩點的極坐標，利用勾股定理求得的表達式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【題目詳解】（1）設(shè)點M在極坐標系中的坐標，由，得，或，所以點M的極坐標為或（2）由題意可設(shè)，.由，得，.故時，的最大值為.【答案點睛】本小題主要考查極坐標的求法，考查極坐標下兩點間距離的計算以及距離最值的求法，屬于中檔題.19、（1） （2）【答案解析】（1）當時，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集為 （2）由題可得，因為函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，所以，解得，當時，函數(shù)的圖象與軸沒有交點，不符合題意；當時，函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個

18、直角三角形，符合題意綜上，可得20、（1）見解析（2）見解析【答案解析】（1）連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OE，利用三角形中位線可得APOE，從而可證AP平面EBD；（2）先證明BD平面PCD，再證明PC平面BDE，從而可證BEPC【題目詳解】證明：（1）連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OE因為四邊形ABCD為平行四邊形O為AC中點，又E為PC中點，故APOE，又AP平面EBD，OE平面EBD所以AP平面EBD；（2）PCD為正三角形，E為PC中點所以PCDE因為平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，又BD平面ABCD，BDCDBD平面PCD又PC平面PCD，故PCBD又BDDED，BD平面BDE，DE平面BDE故PC平面BDE又BE平面BDE，所以BEPC【答案點睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，線面平行一般轉(zhuǎn)化為線線平行來證明，直線與直線垂直通常利用線面垂直來進行證明，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).21、（1）；（2）.【答案解析】（1）令，求出的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論；（2）對分類討論，分別求出以及的最小值或范圍，與的最小值建立方程關(guān)系，求出的值，進而求出的取值關(guān)系.【題目詳解】（1）當時， 令，而是增函數(shù)，函數(shù)的值域是.（2）當時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，在上單調(diào)遞增，最小值為，而的最小值為，所以這種情況不可能.當時，則在上