高中數(shù)學(xué)必修二 (教案)空間直線、平面的平行

1、 15/15空間直線、平面的平行【第一課時】直線與直線平行【教學(xué)目標(biāo)】1理解基本事實4，并會用它解決兩直線平行問題2理解定理的內(nèi)容，套用定理解決角相等或互補(bǔ)問題【教學(xué)重難點】1基本事實42等角定理【教學(xué)過程】一、問題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1基本事實4的內(nèi)容是什么？2定理的內(nèi)容是什么？二、基礎(chǔ)知識1基本事實4（1）平行于同一條直線的兩條直線平行這一性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性（2）符號表示：eq blc rc(avs4alco1(ab,bc)ac.2等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)名師點撥 定理實質(zhì)上是由如下兩個結(jié)論組合成的：若一個角的兩邊與另一個角的

2、兩邊分別平行且方向都相同（或方向都相反），則這兩個角相等；若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對應(yīng)邊方向相同，另一組對應(yīng)邊方向相反，則這兩個角互補(bǔ)三、新知探究基本事實4的應(yīng)用例1：如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點求證：四邊形B1EDF為平行四邊形【證明】如圖所示，取DD1的中點Q，連接EQ，QC1.因為E是AA1的中點，所以EQeq o(sdo3(),sup3()A1D1.因為在矩形A1B1C1D1中，A1D1eq o(sdo3(),sup3()B1C1，所以EQeq o(sdo3(),sup3()B1C1，所以四邊形EQC1B1為平行四邊形，

3、所以B1Eeq o(sdo3(),sup3()C1Q.又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點，所以QDeq o(sdo3(),sup3()C1F，所以四邊形DQC1F為平行四邊形，所以C1Qeq o(sdo3(),sup3()FD.又B1Eeq o(sdo3(),sup3()C1Q，所以B1Eeq o(sdo3(),sup3()FD，故四邊形B1EDF為平行四邊形規(guī)律方法eq avs4al()證明空間中兩條直線平行的方法（1）利用平面幾何的知識（三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等）來證明（2）利用基本事實4即找到一條直線c，使得ac，同時bc，由基本事實4得到ab.

4、定理的應(yīng)用例2：如圖所示，不共面的三條射線OA，OB，OC，點A1，B1，C1分別是OA，OB，OC上的點，且eq f(OA1,OA)eq f(OB1,OB)eq f(OC1,OC).求證：A1B1C1ABC.【證明】在OAB中，因為eq f(OA1,OA)eq f(OB1,OB)，所以A1B1AB.同理可證A1C1AC，B1C1BC.所以C1A1B1CAB，A1B1C1ABC.所以A1B1C1ABC.規(guī)律方法eq avs4al()eq avs4al()運用定理判定兩個角是相等還是互補(bǔ)的途徑有兩種：一是判定兩個角的方向是否相同；二是判定這兩個角是否都為銳角或都為鈍角，若都為銳角或都為鈍角則相等

5、，反之則互補(bǔ) 【課堂檢測】1.如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，M是AD的中點，N是B1C1的中點，求證：CMA1N.證明：取A1D1的中點P，連接C1P，MP，則A1Peq f(1,2)A1D1.又N為B1C1的中點，B1C1eq o(sdo3(),sup3()A1D1，所以C1Neq o(sdo3(),sup3()PA1，四邊形PA1NC1為平行四邊形，A1NC1P.又由PMeq o(sdo3(),sup3()DD1eq o(sdo3(),sup3()CC1，得C1PCM.所以CMA1N.2如圖，已知直線a，b為異面直線，A，B，C為直線a上三點，D，E，F(xiàn)為直線b上三點，A，B，C

6、，D，E分別為AD，DB，BE，EC，CF的中點求證：ABCCDE.證明：因為A，B分別是AD，DB的中點，所以ABa，同理CDa，BCb，DEb，所以ABCD，BCDE.又ABC的兩邊和CDE的兩邊的方向都相同，所以ABCCDE.【第二課時】直線與平面平行【教學(xué)目標(biāo)】1理解直線與平面平行的定義，會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定定理，會用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關(guān)系2理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題【教學(xué)重難點】1直線與平面平行的判定2直線與平面平行的性質(zhì)【教學(xué)過程】一、問題導(dǎo)

7、入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1直線與平面平行的判定定理是什么？2直線與平面平行的性質(zhì)定理是什么？二、基礎(chǔ)知識1直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號語言a，b，且aba圖形語言名師點撥 用該定理判斷直線a和平面平行時，必須同時具備三個條件：（1）直線a在平面外，即a.（2）直線b在平面內(nèi)，即b.（3）兩直線a，b平行，即ab.2直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號語言a，a，bab圖形語言名師點撥 （1）線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個：直線a與平面平

8、行，即a；平面，相交于一條直線，即b；直線a在平面內(nèi)，即a.以上三個條件缺一不可（2）定理的作用：線面平行線線平行；畫一條直線與已知直線平行（3）定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想三、合作探究直線與平面平行的判定例1：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF平面AD1G.【證明】連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，知EFBC1.又ABeq o(sdo3(),sup3()A1B1eq o(sdo3(),sup3()D

9、1C1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以BC1AD1，所以EFAD1.又EF平面AD1G，AD1平面AD1G，所以EF平面AD1G. 規(guī)律方法應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；三角形中位線法；平行四邊形法；成比例線段法 提醒線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)（1）條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”（2）不能利用題目條件順利地找到兩平行直線線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例2：如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過點G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：APGH.【證明】如圖，

10、連接AC，交BD于點O，連接MO.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以點O是AC的中點又因為點M是PC的中點，所以APOM.又因為AP平面BDM，OM平面BDM，所以AP平面BDM.因為平面PAHG平面BDMGH，AP平面PAHG，所以APGH. 規(guī)律方法eq avs4al()【課堂檢測】1已知b是平面外的一條直線，下列條件中，可得出b的是（ ）Ab與內(nèi)的一條直線不相交Bb與內(nèi)的兩條直線不相交Cb與內(nèi)的無數(shù)條直線不相交Db與內(nèi)的所有直線不相交解析：選D.若b與內(nèi)的所有直線不相交，即b與無公共點，故b.2給出下列命題：如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個平面平行；過直線外一點，可以作無數(shù)個

11、平面與這條直線平行；如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線平行其中正確命題的個數(shù)為（ ）A0B1C2 D3解析：選B.中，直線可能與平面相交，故錯；是正確的；中，一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的直線平行或異面，故錯3三棱臺ABCA1B1C1中，直線AB與平面A1B1C1的位置關(guān)系是（ ）A相交 B平行C在平面內(nèi) D不確定解析：選B.在三棱臺ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，所以AB平面A1B1C1.4如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中點證明：BC1平面A1CD.證明：如圖，連接AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點又D

12、是AB的中點，連接DF，則DFBC1.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.【第三課時】平面與平面平行【教學(xué)目標(biāo)】1理解平面與平面平行的定義，會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理，會用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關(guān)系2理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題【教學(xué)重難點】1平面與平面平行的判定2平面與平面平行的性質(zhì)一、問題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1面面平行的判定定理是什么？2面面平行的性質(zhì)定理是什么？二、基礎(chǔ)知識1平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線

13、與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言a，b，abP，a，b圖形語言名師點撥 （1）平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的（2）面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行2平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言，a，bab圖形語言名師點撥 （1）用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：平面和平面平行，即；平面和相交，即a；平面和相交，即b.以上三個條件缺一不可（2）已知兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內(nèi)的所有直線并不

14、一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線（3）該定理提供了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時要緊扣與兩個平行平面都相交的第三個平面三、合作探究平面與平面平行的判定例1：如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1.（1）求證：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1平面FBD.【證明】（1）因為B1Beq o(sdo3(),sup3()DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，所以BD平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C.又A1DBDD，所以平面A

15、1BD平面B1D1C.（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1.取BB1的中點G，連接AG，GF，易得AEB1G，又因為AEB1G，所以四邊形AEB1G是平行四邊形，所以B1EAG.易得GFAD，又因為GFAD，所以四邊形ADFG是平行四邊形，所以AGDF，所以B1EDF，所以DF平面EB1D1.又因為BDDFD，所以平面EB1D1平面FBD.變條件把本例（2）的條件改為“E，F(xiàn)分別是AA1與CC1上的點，且A1Eeq f(1,4)A1A”，求F在何位置時，平面EB1D1平面FBD?解：當(dāng)F滿足CFeq f(1,4)CC1時，兩平面平行，下面給出證明：在D1D上取點M，且DMeq f(1,4

16、)DD1，連接AM，F(xiàn)M，則AEeq o(sdo3(),sup3()D1M，從而四邊形AMD1E是平行四邊形所以D1EAM.同理，F(xiàn)Meq o(sdo3(),sup3()CD，又因為ABeq o(sdo3(),sup3()CD，所以FMeq o(sdo3(),sup3()AB，從而四邊形FMAB是平行四邊形所以AMBF.即有D1EBF.又BF平面FBD，D1E平面FBD，所以D1E平面FBD.又B1Beq o(sdo3(),sup3()D1D，從而四邊形BB1D1D是平行四邊形故而B1D1BD，又BD平面FBD，B1D1平面FBD，從而B1D1平面FBD，又D1EB1D1D1，所以平面EB1D

17、1平面FBD. 規(guī)律方法證明面面平行的方法（1）要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個平面即可（2）判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線 面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例2：如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面，分別交于點B，A和D，C，點M，N分別是AB，CD的中點，求證：MN平面.【證明】如圖，過點A作AECD交于點E，取AE的中點P，連接MP，PN，BE，ED，BD，AC.因為AECD，所以AE，CD確定平面AEDC.則平面AEDCDE，平面AEDCAC，因為，所以ACD

18、E.又P，N分別為AE，CD的中點，所以PNDE，PN，DE，所以PN.又M，P分別為AB，AE的中點，所以MPBE，且MP，BE.所以MP，因為MPPNP，所以平面MPN.又MN平面MPN，所以MN平面.1變條件在本例中將M，N分別為AB，CD的中點換為M，N分別在線段AB，CD上，且eq f(AM,MB)eq f(CN,ND)，其他不變證明：MN平面.證明：作AECD交于點E，連接AC，BD，如圖因為且平面AEDC與平面，的交線分別為ED，AC，所以ACED，所以四邊形AEDC為平行四邊形，作NPDE交AE于點P，連接MP，BE，于是eq f(CN,ND)eq f(AP,PE).又因為eq

19、 f(AM,MB)eq f(CN,ND)，所以eq f(AM,MB)eq f(AP,PE)，所以MPBE.而BE，MP，所以MP.同理PN.又因為MPNPP，所以平面MPN平面.又MN平面MPN，所以MN平面.2變條件、變問法兩條異面直線與三個平行平面，分別交于A，B，C和D，E，F(xiàn)，求證：eq f(AB,BC)eq f(DE,EF).證明：連接AF交平面于點M.連接MB，ME，BE，AD，CF，因為，所以MEAD.所以eq f(DE,EF)eq f(AM,MF).同理，BMCF，所以eq f(AB,BC)eq f(AM,MF)，即eq f(AB,BC)eq f(DE,EF).規(guī)律方法應(yīng)用平面

20、與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟提醒面面平行性質(zhì)定理的實質(zhì)：面面平行線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與判定定理交替使用，可實現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化 平行關(guān)系的綜合問題例3：在正方體ABCDA1B1C1D1中，如圖（1）求證：平面AB1D1平面C1BD；（2）試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F(xiàn)，并證明：A1EEFFC.【解】（1）證明：因為在正方體ABCDA1B1C1D1中，ADeq o(sdo3(),sup3()B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1C1D.又因為C1D平面C1BD，AB1平面C1BD.所以AB1平面C1BD.同理B1D1平面C1B

21、D.又因為AB1B1D1B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1平面C1BD.（2）如圖，連接A1C1交B1D1于點O1，連接A1C，連接AO1與A1C交于點E.又因為AO1平面AB1D1，所以點E也在平面AB1D1內(nèi)，所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點；連接AC交BD于O，連接C1O與A1C交于點F，則點F就是A1C與平面C1BD的交點證明A1EEFFC的過程如下：因為平面A1C1C平面AB1D1EO1，平面A1C1C平面C1BDC1F，平面AB1D1平面C1BD，所以EO1C1F.在A1C1F中，O1是A1C1的中點，所以E是A1F的中點，即A1EEF；

22、同理可證OFAE，所以F是CE的中點，即CFFE，所以A1EEFFC. 規(guī)律方法解決平行關(guān)系的綜合問題的方法（1）在遇到線面平行時，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質(zhì)（2）要靈活應(yīng)用線線平行、線面平行和面面平行的性質(zhì)，實現(xiàn)相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的最有效的方法 【課堂檢測】1已知，是兩個不重合的平面，下列選項中，一定能得出平面與平面平行的是（ ）A平面內(nèi)有一條直線與平面平行B平面內(nèi)有兩條直線與平面平行C平面內(nèi)有一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行D平面與平面不相交解析：選D.選項A、C不正確，因為兩個平面可能相交；選項B不正確，因為平面內(nèi)的這兩條直線必須相交才能得到平面與平面平行；選項D正確，因為兩個平面的位置關(guān)系只有相交與平行兩種故選D.2.如圖所示，P是