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文檔簡介

微分方程的定義高等數(shù)學在線開放課程前言

在力學、物理學及工程技術(shù)等領(lǐng)域中為了對客觀事物運動的規(guī)律性進行研究，往往需要尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，但根據(jù)問題的性質(zhì)，常常只能得到待求函數(shù)的導數(shù)或微分的關(guān)系式，這種關(guān)系式在數(shù)學上稱之為微分方程。目錄問題的引入01微分方程的定義0201.問題的引入解

設(shè)所求曲線的方程為(1)兩邊積分，得(2)(3)將(3)式代入(2)式，得

為所求的曲線方程．例1一曲線過點，且曲線上各點處的切線斜率等于該點橫坐標的平方，求此曲線方程．

為曲線上的任意點，在該點曲線的切線的斜率為

,依題意有：所以上式表示的是曲線上任意一點的切線的斜率為

的所有曲線．但要求的是過點

的曲線，即01.問題的引入又根據(jù)牛頓第二定律，

及加速度,所以即(5)現(xiàn)在求s與t之間的函數(shù)關(guān)系，對(5)式兩端積分得(6)再兩端積分，得(7)這里C1，C2都是任意的常數(shù)．把(8)式分別代入(6)，(7)式，得C1=0,C2=0.故(7)式為(9)這就是初速度為0的物體自由下落時距離s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系．解

設(shè)物體的質(zhì)量為

,由于下落過程中只受重力作用,故物體所受之力為由題意知t=0時，(8)例2

一物體由靜止開始從高處自由下落，已知物體下落時的重力加速

度是

，求物體下落的位置與時間之間的函數(shù)關(guān)系。02.微分方程的定義凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.微分方程分類1:按自變量的個數(shù)，分為常微分方程和偏微分方程.如

如果其中的未知函數(shù)只與一個自變量有關(guān)，就稱為常微分方程.如果未知函數(shù)是兩個或兩個以上自變量的函數(shù)，并且在方程中出現(xiàn)偏導數(shù)，就稱為偏微分方程.如就是偏微分方程；我們只介紹常微分方程.02.微分方程的定義微分方程的階:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù).都是二階微分方程.都是一階微分方程；如是四階微分方程.二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程.一階微分方程高階(n)

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