云南省昆明市宜良縣蓬萊鄉(xiāng)第一中學2022-2023學年高一數(shù)學文期末試題含解析

云南省昆明市宜良縣蓬萊鄉(xiāng)第一中學2022-2023學年高一數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.2．從中隨機取出三個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)的概率為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.在△ABC中，，，，則△ABC的面積為（

）A.或 B.或 C.或 D.參考答案：B【分析】利用正弦定理，求出C，從而可求A，利用的面積，即可得出結(jié)論．【詳解】∵△ABC中，，，，，，或，或，∴△ABC的面積為或．故選：B．【點睛】本題考查正弦定理的運用，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.（

）A．1

B．-1

C．

D．參考答案：C4.若sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，且0≤α＜β＜γ＜2π，則β﹣α=（）A． B．C． D．以上答案都不對參考答案：B【考點】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】利用兩角和與差的公式即可即可求出．【解答】解：由sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，∵0≤α＜β＜γ＜2π，∴sinα+sinβ=﹣sinγ，cosα+cosβ=﹣cosγ，∴0≤α＜β＜π＜γ＜．則（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ）2=1．∴2（sinαsinβ+cosαcosβ）=﹣1．得cos（β﹣α）=﹣．由0≤α＜2π．∴﹣2π＜﹣α≤0，0＜β＜π．∴0＜β﹣α＜π．∴β﹣α=．故選：B．5.下列各對不等式中同解的是（

）A．與

B．與C．與

D．與參考答案：B

解析：對于A．與

對于C．與對于D．與，

當時，

不成立6.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小是（

）A.－2 B. C. D.－1參考答案：B分析：根據(jù)條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可.詳解：建立如圖所示的坐標系，以BC中點為坐標原點，則，設(shè)，則，則，當時，取得最小值.故選：B.點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．7.當時，不等式（其中且）恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C．(1,2) D．(1,2]參考答案：D作出函數(shù)y=x2與y=loga（x+1）的圖象如圖，要使當x∈（0，1）時，不等式x2＜loga（x+1）恒成立，則a＞1且loga（1+1）=loga2≥1，解得1＜a≤2．∴a的取值范圍為（1，2]．故選：D．

8.今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知且，則銳角等于（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.函數(shù)f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．[﹣π，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣，0] D．[﹣，0]參考答案：D【考點】H5：正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得答案．【解答】解：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），因x﹣∈[﹣π，﹣]，故x﹣∈[﹣π，﹣]，得x∈[﹣，0]，故選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解，則實數(shù)的最大值為

。參考答案：12.已知，則________.參考答案：13.（本小題滿分12分）在中，已知是的方程的兩個根．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且滿足，求的值．參考答案：（Ⅰ）方程可整理得．…………1分由條件可知，．…………3分所以,…………6分所以．…………7分（Ⅱ）在中，，所以．…………8分因為，所以．…………9分由有，所以或，所以或，即的值為或．…………12分14.函數(shù)的值域為

．參考答案：略15.數(shù)列,,,，,…的一個通項公式為_______．參考答案：【分析】分別觀察分子分母的特點，歸納出通項公式來.【詳解】數(shù)列,,,,…，觀察該數(shù)列各項的特征是由分數(shù)組成，且分數(shù)的分子與項數(shù)相同，分子與分母相差1，由此得出該數(shù)列的一個通項公式為．故答案為：．

16.定義在R上的函數(shù)滿足，，且時，則____________.參考答案：略17.若x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為

． 參考答案：4【考點】簡單線性規(guī)劃． 【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖， 由z=3x+y，得y=﹣3x+z， 平移直線y=﹣3x+z，由圖象可知當直線y=﹣3x+z，經(jīng)過點A時， 直線y=﹣3x+z的截距最大， 此時z最大． 由得，即A（1，1）， 此時z的最大值為z=3×1+1=4， 故答案為：4 【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法，要熟練掌握目標函數(shù)的幾何意義． 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1．若對任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說明理由；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a對所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求實數(shù)t的范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）由奇函數(shù)的定義和單調(diào)性的定義，將n換為﹣n，即可得到；（2）由題意可得f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]遞增，可得不等式組，解得即可；（3）由題意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2對a∈[1，3]恒成立．再由絕對值的含義，可得對a∈[1，3]恒成立，分別求得兩邊函數(shù)的最值，即可得到t的范圍．【解答】解：（1）用﹣n代替n得：[f（m）+f（﹣n）]（m﹣n）＞0，又f（x）為奇函數(shù)，則[f（m）﹣f（n）]（m﹣n）＞0，根據(jù)符號法則及單調(diào)性的定義可知：f（x）為增函數(shù)；（2）若，即為f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]遞增，可得，解得；（3）由題意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2對a∈[1，3]恒成立．即對a∈[1，3]恒成立，由于a﹣在[1，3]遞增，可得a=3時，取得最大值；a+≥2=2，當且僅當a=取得最小值．即有．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用：求最值和解不等式，考查不等式恒成立問題的解法注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題．19.（本小題10分）設(shè)，，，∥，試求（O為坐標原點）。參考答案：20.已知函數(shù)f（x）=（k＞0）．（1）若f（x）＞m的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集；（2）若存在x＞3使得f（x）＞1成立，求k的取值范圍．參考答案：【考點】7E：其他不等式的解法．【分析】（1）根據(jù)f（x）＞m的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，可得f（﹣3）=m，f（﹣2）=m，求得m、k的值，從而求得不等式5mx2+x+3＞0的解集．（2）由題意可得k＞在（3，+∞）上能成立，故k大于g（x）=的最小值．再利用導數(shù)求得g（x）的最小值，可得k的取值范圍．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=（k＞0），f（x）＞m的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，∴f（﹣3）=m，f（﹣2）=m，即=m，且=m，求得k=2，m=﹣，故不等式5mx2+x+3＞0，即不等式﹣2x2+x+3＞0，即2x2﹣x﹣3＜0，求得﹣1＜x＜，故不等式的解集為{x|﹣1＜x＜}．（2）∵存在x＞3使得f（x）＞1成立，∴＞1在（3，+∞）上有解，即x2﹣kx+3k＜0在（3，+∞）上有解，k＞在（3，+∞）上能成立，故k大于g（x）=的最小值．∵g′（x）=，∴在（3，6）上，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；在（6，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，故g（x）的最小值為g（6）=12，∴k＞12．21.手機支付也稱為移動支付，是指允許移動用戶使用其移動終端（通常是手機）對所消費的商品或服務(wù)進行賬務(wù)支付的一種服務(wù)方式.繼卡類支付、網(wǎng)絡(luò)支付后，手機支付儼然成為新寵.某金融機構(gòu)為了了解移動支付在大眾中的熟知度，對15-65歲的人群隨機抽樣調(diào)查，調(diào)查的問題是“你會使用移動支付嗎？”其中，回答“會”的共有100個人，把這100個人按照年齡分成5組，然后繪制成如圖所示的頻率分布表和頻率分布直方圖.組數(shù)第l組第2組第3組第4組第5組分組[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)頻數(shù)203630104

（1）求x；（2）從第l，3，4組中用分層抽樣的方法抽取6人，求第l，3，4組抽取的人數(shù)：（3）在（2）抽取的6人中再隨機抽取2人，求所抽取的2人來自同一個組的概率.參考答案：(1)；(2)第1組2人,第3組3人，第4組1人；(3)【分析】（1）直接計算.（2）根據(jù)分層抽樣的規(guī)律按照比例抽取.（3）設(shè)第1組抽取的2人為，，第3組抽取的3人為，，，第4組抽取的1人為，排列出所有可能，再計算滿足條件的個數(shù)，相除得到答案.【詳解】解：（1）由題意可知，，（2）第1，3，4組共有60人，所以抽取的比例是則從第1組抽取的人數(shù)為,從第3組抽取的人數(shù)為，從第4組抽取的人數(shù)為；（3）設(shè)第1組抽取的2人為，，第3組抽取的3人為，，，第4組抽取的1人為，則從這6人中隨機抽取2人有如下種情形：，，，，，，，，，，，，，，共有15個基本事件.其中符合“抽取的2人來自同一個組”的基本事件有，，，共4個基本事件，所以抽取的2人來自同一個組的概率.【點睛】本題考查了頻率直方圖，分層抽樣，概率的計算，意在考查學生解決問題的能力.22.C位于A城的南偏西20°的位置，B位于A城的南偏東40°的位置，有一人距C為31千米的B處正沿公路向A城走去，走了20千米后到達D處，此時CD間的距離為21千米，問這人還要走多少千米才能到達A城？ 參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理． 【分析】設(shè)∠ACD=α，∠CDB=β，在三角形BCD中，利用余弦定理求出cosβ的值，進而求出sinβ的值，由α=β﹣60°，求出