質(zhì)量常用的統(tǒng)計(jì)技術(shù)

質(zhì)量常用統(tǒng)計(jì)技術(shù)方差分析回歸分析試驗(yàn)設(shè)計(jì)上海質(zhì)量教育培訓(xùn)中心2005年第一頁，共九十三頁。第一節(jié)方差分析

一、幾個(gè)概念二、單因子方差分析

第二頁，共九十三頁。一、幾個(gè)概念

在試驗(yàn)中改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫英文字母A、B、C、…等表示。因子在試驗(yàn)中所處的狀態(tài)稱為因子的水平。用代表因子的字母加下標(biāo)表示，記為A1，A2，…，Ak。試驗(yàn)中所考察的指標(biāo)（可以是質(zhì)量特性也可以是產(chǎn)量特性或其它）用Y表示。Y是一個(gè)隨機(jī)變量。單因子試驗(yàn)：若試驗(yàn)中所考察的因子只有一個(gè)。第三頁，共九十三頁。[例2.1-1]現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一種零件，為了了解不同工廠的零件的強(qiáng)度有無明顯的差異，現(xiàn)分別從每一個(gè)工廠隨機(jī)抽取四個(gè)零件測定其強(qiáng)度，數(shù)據(jù)如表所示，試問三個(gè)工廠的零件的平均強(qiáng)度是否相同？

工廠量件強(qiáng)度

甲

乙

丙

10310198110

113107108116

82928486三個(gè)工廠的零件強(qiáng)度

第四頁，共九十三頁。在這一例子中，考察一個(gè)因子：因子A：工廠該因子有三個(gè)水平：甲、乙、丙試驗(yàn)指標(biāo)是：零件強(qiáng)度這是一個(gè)單因子試驗(yàn)的問題。每一水平下的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成一個(gè)總體，現(xiàn)在需要比較三個(gè)總體均值是否一致。如果每一個(gè)總體的分布都是正態(tài)分布，并且各個(gè)總體的方差相等，那么比較各個(gè)總體均值是否一致的問題可以用方差分析方法來解決。第五頁，共九十三頁。二、單因子方差分析

假定因子A有r個(gè)水平，在Ai水平下指標(biāo)服從正態(tài)分布，其均值為，方差為，i=1,2,…,r。每一水平下的指標(biāo)全體便構(gòu)成一個(gè)總體，共有r個(gè)總體，這時(shí)比較各個(gè)總體的問題就變成比較各個(gè)總體的均值是否相同的問題了，即要檢驗(yàn)如下假設(shè)是否為真：第六頁，共九十三頁。當(dāng)不真時(shí)，表示不同水平下的指標(biāo)的均值有顯著差異，此時(shí)稱因子A是顯著的，否則稱因子A不顯著。檢驗(yàn)這一假設(shè)的分析方法便是方差分析。第七頁，共九十三頁。方差分析的三個(gè)基本假定1.在水平下，指標(biāo)服從正態(tài)分布；2.在不同水平下，各方差相等；3.各數(shù)據(jù)相互獨(dú)立。第八頁，共九十三頁。設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中只考察一個(gè)因子A，它有r個(gè)水平，在每一水平下進(jìn)行m次重復(fù)試驗(yàn)，其結(jié)果用表示，i=1,2,…,r。常常把數(shù)據(jù)列成如下表格形式：單因子試驗(yàn)數(shù)據(jù)表第九頁，共九十三頁。記第i水平下的數(shù)據(jù)均值為，總均值為。此時(shí)共有n=rm個(gè)數(shù)據(jù)，這n個(gè)數(shù)據(jù)不全相同，它們的波動（差異）可以用總離差平方和ST去表示記第i水平下的數(shù)據(jù)和為Ti，；第十頁，共九十三頁。引起數(shù)據(jù)波動（差異）的原因不外如下兩個(gè)：一是由于因子A的水平不同，當(dāng)假設(shè)H0不真時(shí)，各個(gè)水平下指標(biāo)的均值不同，這必然會使試驗(yàn)結(jié)果不同，我們可以用組間離差平方和來表示，也稱因子A的離差平方和：這里乘以m是因?yàn)槊恳凰较逻M(jìn)行了m次試驗(yàn)。第十一頁，共九十三頁。二是由于存在隨機(jī)誤差，即使在同一水平下獲得的數(shù)據(jù)間也有差異，這是除了因子A的水平外的一切原因引起的，我們將它們歸結(jié)為隨機(jī)誤差，可以用組內(nèi)離差平方和表示：Se：也稱為誤差的離差平方和第十二頁，共九十三頁?？梢宰C明有如下平方和分解式：ST、SA、Se的自由度分別用、、表示，它們也有分解式：，其中：因子或誤差的離差平方和與相應(yīng)的自由度之比稱為因子或誤差的均方和，并分別記為：兩者的比記為：第十三頁，共九十三頁。當(dāng)時(shí)認(rèn)為在顯著性水平上因子A是顯著的。其中是自由度為的F分布的1-α分位數(shù)。單因子方差分析表

第十四頁，共九十三頁。各個(gè)離差平方和的計(jì)算：

其中是第i個(gè)水平下的數(shù)據(jù)和；T表示所有n=rm個(gè)數(shù)據(jù)的總和。

第十五頁，共九十三頁。進(jìn)行方差分析的步驟如下：

（1）計(jì)算因子A的每一水平下數(shù)據(jù)的和T1，T2，…，Tr及總和T；

（2）計(jì)算各類數(shù)據(jù)的平方和；

（3）依次計(jì)算ST，SA，Se；

（4）填寫方差分析表；

（5）對于給定的顯著性水平α，將求得的F值與F分布表中的臨界值比較，當(dāng)時(shí)認(rèn)為因子A是顯著的，否則認(rèn)為因子A是不顯著的。

第十六頁，共九十三頁。對上例的分析

（1）計(jì)算各類和：

每一水平下的數(shù)據(jù)和為：

數(shù)據(jù)的總和為T=1200

（2）計(jì)算各類平方和：

原始數(shù)據(jù)的平方和為：

每一水平下數(shù)據(jù)和的平方和為

第十七頁，共九十三頁。（3）計(jì)算各離差平方和：

ST=121492-12002/12=1492，fT=3×4-1=11SA=485216/4-12002/12=1304,fA=3-1=2Se=1492-1304=188,fe=11-2=9第十八頁，共九十三頁。（4）列方差分析表：

[例2.1-1]的方差分析表

第十九頁，共九十三頁。（5）如果給定=0.05，從F分布表查得

由于F>4.26，所以在=0.05水平上結(jié)論是因子A是顯著的。這表明不同的工廠生產(chǎn)的零件強(qiáng)度有明顯的差異。

當(dāng)因子A是顯著時(shí)，我們還可以給出每一水平下指標(biāo)均值的估計(jì)，以便找出最好的水平。在單因子試驗(yàn)的場合，第i個(gè)水平指標(biāo)均值的估計(jì)為：

，

第二十頁，共九十三頁。在本例中，三個(gè)工廠生產(chǎn)的零件的平均強(qiáng)度的的估計(jì)分別為：

由此可見，乙廠生產(chǎn)的零件的強(qiáng)度的均值最大，如果我們需要強(qiáng)度大的零件，那么購買乙廠的為好；而從工廠來講，甲廠與丙廠應(yīng)該設(shè)法提高零件的強(qiáng)度。

誤差方差的估計(jì)：這里方差的估計(jì)是MSe。在本例中：的估計(jì)是20.9。

的估計(jì)是

[例2.1-2]略（見教材P92）第二十一頁，共九十三頁。三、重復(fù)數(shù)不等的情況若在每一水平下重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不同，假定在Ai水平下進(jìn)行次試驗(yàn)，那么進(jìn)行方差分析的步驟仍然同上，只是在計(jì)算中有兩個(gè)改動：

第二十二頁，共九十三頁。例2.1-3某型號化油器原中小喉管的結(jié)構(gòu)使油耗較大，為節(jié)約能源，設(shè)想了兩種改進(jìn)方案以降低油耗。油耗的多少用比油耗進(jìn)行度量，現(xiàn)在對用各種結(jié)構(gòu)的中小喉管制造的化油器分別測定其比油耗，數(shù)據(jù)如表所列，試問中小喉管的結(jié)構(gòu)（記為因子A）對平均比油油耗的影響是否顯著。（這里假定每一種結(jié)構(gòu)下的油耗服從等方差的正態(tài)分布）

第二十三頁，共九十三頁。[例2.1-3]的試驗(yàn)結(jié)果

水平試驗(yàn)結(jié)果（比油耗-220）A1：原結(jié)構(gòu)11.012.87.68.34.75.59.310.3A2：改進(jìn)方案12.84.5-1.50.2A3：改進(jìn)方案24.36.11.43.6（為簡化計(jì)算，這里一切數(shù)據(jù)均減去220，不影響F比的計(jì)算及最后分析因子的顯著性）

第二十四頁，共九十三頁。（1）各水平下的重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)及數(shù)據(jù)和分別為：

A1：m1=8,T1=69.5A2：m2=4,T2=6.0A3：m3=4,T3=15.4總的試驗(yàn)次數(shù)n=16，數(shù)據(jù)的總和為T=90.9

第二十五頁，共九十三頁。（2）計(jì)算各類平方和：

（3）計(jì)算各離差平方和：

ST=757.41-516.43=240.98，fT=16-1=15SA=672.07-516.43=155.64,fA=3-1=2Se=240.98-155.64=85.34,fe=15-2=13第二十六頁，共九十三頁。（4）列方差分析表：

[例2.1-3]方差分析表

第二十七頁，共九十三頁。（5）如果給定=0.05，從F分布表查得

由于F>3.81，所以在α=0.05水平上我們的結(jié)論是因子A是顯著的。這表明不同的中小喉管結(jié)構(gòu)生產(chǎn)的化油器的平均比油耗有明顯的差異。

第二十八頁，共九十三頁。我們還可以給出不同結(jié)構(gòu)生產(chǎn)的化油器的平均比油耗的估計(jì)：

這里加上220是因?yàn)樵谠瓟?shù)據(jù)中減去了220的緣故。

由此可見，從比油耗的角度看，兩種改進(jìn)結(jié)構(gòu)都比原來的好，特別是改進(jìn)結(jié)構(gòu)1。

在本例中誤差方差的估計(jì)為6.56，標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)為2.56。

第二十九頁，共九十三頁。第二節(jié)回歸分析

例2.2-1合金的強(qiáng)度y與合金中的碳含量x有關(guān)。為了生產(chǎn)出強(qiáng)度滿足顧客需要的合金，在冶煉時(shí)應(yīng)該如何控制碳含量？如果在冶煉過程中通過化驗(yàn)得到了碳含量，能否預(yù)測合金的強(qiáng)度？

這時(shí)需要研究兩個(gè)變量間的關(guān)系。首先是收集數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2,…,n?，F(xiàn)從生產(chǎn)中收集到表2.2-1所示的數(shù)據(jù)。

第三十頁，共九十三頁。表2.2-1數(shù)據(jù)表

第三十一頁，共九十三頁。一、散布圖

6050400.150.200.10xy[例2.2-1]的散布圖

第三十二頁，共九十三頁。二、相關(guān)系數(shù)

1．相關(guān)系數(shù)的定義

在散布圖上n個(gè)點(diǎn)在一條直線附近，但又不全在一條直線上，稱為兩個(gè)變量有線性相關(guān)關(guān)系，可以用相關(guān)系數(shù)r去描述它們線性關(guān)系的密切程度

第三十三頁，共九十三頁。其中

第三十四頁，共九十三頁。性質(zhì)：

表示n個(gè)點(diǎn)在一條直線上，這時(shí)兩個(gè)變量間完全線性相關(guān)。

r>0表示當(dāng)x增加時(shí)y也增大，稱為正相關(guān)

r<0表示當(dāng)x增加時(shí)y減小，稱為負(fù)相關(guān)

r=0表示兩個(gè)變量間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但并不排斥兩者間有其它函數(shù)關(guān)系。

第三十五頁，共九十三頁。2．相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)

若記兩個(gè)變量x和y理論的相關(guān)系數(shù)為，其中x為一般變量，y服從等方差的正態(tài)分布，則對給定的顯著性水平，當(dāng)可以認(rèn)為兩者間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系，可以從表2.2-2中查出。（其中n為樣本量）。

第三十六頁，共九十三頁。3．具體計(jì)算

求上例的相關(guān)系數(shù)：

步驟如下：

（1）計(jì)算變量x與y的數(shù)據(jù)和：

Tx==1.90,Ty==590.5

（2）計(jì)算各變量的平方和與乘積和：

第三十七頁，共九十三頁。（3）計(jì)算Lxx,Lyy,Lxy：

Lxy=95.9250-1.90×590.5/12=2.4292

Lxx=0.3194-1.902/12=0.0186

Lyy=29392.75-590.52/12=335.2292

（4）計(jì)算r：在=0.05時(shí)，，由于r>0.576，說明兩個(gè)變量間有（正）線性相關(guān)關(guān)系。

第三十八頁，共九十三頁。四、一元線性回歸方程

1.一元線性回歸方程的求法：

一元線性回歸方程的表達(dá)式為

其中a與b使下列離差平方和達(dá)到最?。?/p>

通過微分學(xué)原理，可知

，

稱這種估計(jì)為最小二乘估計(jì)。

b稱為回歸系數(shù)；a一般稱為常數(shù)項(xiàng)。

第三十九頁，共九十三頁。求一元線性回歸方程的步驟如下：

（1）計(jì)算變量x與y的數(shù)據(jù)和Tx，Ty；（2）計(jì)算各變量的平方和與乘積和；（3）計(jì)算Lxx,Lxy；（4）求出b與a；第四十頁，共九十三頁。利用前面的數(shù)據(jù)，可得：

b=2.4392/0.0186=130.6022

a=590.5/12-130.6022×1.90/12=28.5297

（5）寫出回歸方程：

畫出的回歸直線一定通過（0，a）與兩點(diǎn)

上例：

或第四十一頁，共九十三頁。2.回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

有兩種方法：

一是用上述的相關(guān)系數(shù)；

二是用方差分析方法（為便于推廣到多元線性回歸的場合），將總的離差平方和分解成兩個(gè)部分：回歸平方和與離差平方和。

第四十二頁，共九十三頁?？偟碾x差平方和：

回歸平方和：

離差平方和：

且有ST=SR+SE，其中

它們的自由度分別為：

fT=n-1，fR=1，fE=n-2=fT-fR

第四十三頁，共九十三頁。計(jì)算F比，

對給定的顯著性水平，當(dāng)時(shí)認(rèn)為回歸方程是顯著的，即回歸方程是有意義的。一般也列成方差分析表。

第四十四頁，共九十三頁。對上面的例子，作方差分析的步驟如下：

根據(jù)前面的計(jì)算

（1）計(jì)算各類平方和：

ST=Lyy=335.2292，fT=12-1=11SR=bLxy=130.6022×2.4292=317.2589，fR=1SE=335.2292-317.2589=17.9703，fE=11-1=10

第四十五頁，共九十三頁。（2）列方差分析表：

[例2.2-1]的方差分析表

第四十六頁，共九十三頁。對給定的顯著性水平=0.05，有

F0.95(1,10)=4.96

由于F>4.96，所以在0.05水平上認(rèn)為回歸方程是顯著的（有意義的）。

第四十七頁，共九十三頁。3．利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測

對給定的，y的預(yù)測值為

概率為的y的預(yù)測區(qū)間是

其中

當(dāng)n較大，與相差不大，那么可給出近似的預(yù)測區(qū)間，此時(shí)

第四十八頁，共九十三頁。進(jìn)行預(yù)測的步驟如下：

（1）對給出的x0求預(yù)測值

上例，設(shè)x0=0.16，則

（2）求的估計(jì)

上例有

第四十九頁，共九十三頁。（3）求

上例n=12，如果求概率為95%的預(yù)測區(qū)間，那么t0.975(10)=2.228，所以

（4）寫出預(yù)測區(qū)間

上例為(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54)

第五十頁，共九十三頁。由于u0.975=1.96，故概率為0.95的近似的預(yù)測區(qū)間為：∵∴所求區(qū)間：（49.43-2.63，49.43+2.63）=（46.80，52.06）相差較大的原因總n較小。第五十一頁，共九十三頁。四、可化為一元線性回歸的曲線回歸在兩個(gè)重復(fù)的散布圖上，n個(gè)點(diǎn)的散布不一定都在一條直線附近波動，有時(shí)可能在某條曲線附近波動，這時(shí)以建立曲線回方程為好。

1.確定曲線回歸方程形式

2.曲線回歸方程中參數(shù)的估計(jì)

通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，化為一元線性回歸的形式，再利用一元線性回歸中的最小二乘估計(jì)方法獲得。

第五十二頁，共九十三頁?；貧w曲線的形式：（1），（a>0，b>0）（2），（b>0）（3），（b>0）（4），（b>0）第五十三頁，共九十三頁。3.曲線回歸方程的比較

常用的比較準(zhǔn)則：

（1）要求相關(guān)指數(shù)R大，其平方也稱為決定系數(shù)，它被定義為：

（2）要求剩余標(biāo)準(zhǔn)差s小，它被定義為：

第五十四頁，共九十三頁。第三節(jié)試驗(yàn)設(shè)計(jì)

一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本概念與正交表

（一）試驗(yàn)設(shè)計(jì)

多因素試驗(yàn)遇到的最大困難是試驗(yàn)次數(shù)太多，若十個(gè)因素對產(chǎn)品質(zhì)量有影響，每個(gè)因素取兩個(gè)不同狀態(tài)進(jìn)行比較，有210=1024、如果每個(gè)因素取三個(gè)不同狀態(tài)310=59049個(gè)不同的試驗(yàn)條件

第五十五頁，共九十三頁。選擇部分條件進(jìn)行試驗(yàn)，再通過數(shù)據(jù)分析來尋找好的條件，這便是試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。通過少量的試驗(yàn)獲得較多的信息，達(dá)到試驗(yàn)的目的。

利用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法就是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)。

第五十六頁，共九十三頁。（二）正交表

第五十七頁，共九十三頁。“L”表示正交表，“9”是表的行數(shù)，在試驗(yàn)中表示試驗(yàn)的條件數(shù)，“4”是列數(shù)，在試驗(yàn)中表示可以安排的因子的最多個(gè)數(shù)，“3”是表的主體只有三個(gè)不同數(shù)字，在試驗(yàn)中表示每一因子可以取的水平數(shù)。

第五十八頁，共九十三頁。正交表具有正交性，這是指它有如下兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）每列中每個(gè)數(shù)字重復(fù)次數(shù)相同。

在表L9(34)中，每列有3個(gè)不同數(shù)字：1,2,3，每一個(gè)出現(xiàn)3次。

（2）將任意兩列的同行數(shù)字看成一個(gè)數(shù)對，那么一切可能數(shù)對重復(fù)次數(shù)相同。

在表L9(34)中，任意兩列有9種可能的數(shù)對：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一對出現(xiàn)一次。

第五十九頁，共九十三頁。常用的正交表有兩大類

（1）一類正交表的行數(shù)n，列數(shù)p，水平數(shù)q間有如下關(guān)系：

n=qk,k=2,3,4,…,p=(n-1)/(q-1)

如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，可以考察因子間的交互作用。

（2）另一類正交表的行數(shù)，列數(shù)，水平數(shù)之間不滿足上述的兩個(gè)關(guān)系

如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等

這類正交表不能用來考察因子間的交互作用

常用正交表見附錄第六十頁，共九十三頁。二、無交互作用的正交設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析

試驗(yàn)設(shè)計(jì)一般有四個(gè)步驟：

1.試驗(yàn)設(shè)計(jì)2.進(jìn)行試驗(yàn)獲得試驗(yàn)結(jié)果3.數(shù)據(jù)分析4.驗(yàn)證試驗(yàn)第六十一頁，共九十三頁。例2.3-1磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項(xiàng)指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗(yàn)找出好的條件，以提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。

第六十二頁，共九十三頁。（一）試驗(yàn)的設(shè)計(jì)

在安排試驗(yàn)時(shí)，一般應(yīng)考慮如下幾步：

（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?/p>

（2）明確試驗(yàn)指標(biāo)

（3）確定因子與水平

（4）選用合適的正交表,進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)，列出試驗(yàn)計(jì)劃

第六十三頁，共九十三頁。在本例中：

試驗(yàn)?zāi)康模禾岣叽殴碾姍C(jī)的輸出力矩

試驗(yàn)指標(biāo)：輸出力矩

確定因子與水平：經(jīng)分析影響輸出力矩的可能因子及水平見表2.3-2

表2.3-2因子水平表第六十四頁，共九十三頁。選表：首先根據(jù)因子的水平數(shù)，找出一類正交表

再根據(jù)因子的個(gè)數(shù)確定具體的表

把因子放到表的列上去，稱為表頭設(shè)計(jì)把放因子的列中的數(shù)字改為因子的真實(shí)水平，便成為一張?jiān)囼?yàn)計(jì)劃表，每一行便是一個(gè)試驗(yàn)條件。在正交設(shè)計(jì)中n個(gè)試驗(yàn)條件是一起給出的的，稱為“整體設(shè)計(jì)”，并且均勻分布在試驗(yàn)空間中。表頭設(shè)計(jì)ABC列號

1234第六十五頁，共九十三頁。試驗(yàn)計(jì)劃與試驗(yàn)結(jié)果

第六十六頁，共九十三頁。9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的分布

3C3C2C1A115798642A2A3B1B2B3第六十七頁，共九十三頁。（二）進(jìn)行試驗(yàn)，并記錄試驗(yàn)結(jié)果

在進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，要注意幾點(diǎn)：

1.除了所考察的因子外的其它條件，盡可能保持相同

2.試驗(yàn)次序最好要隨機(jī)化

3.必要時(shí)可以設(shè)置區(qū)組因子

第六十八頁，共九十三頁。（三）數(shù)據(jù)分析

1.數(shù)據(jù)的直觀分析

（1）尋找最好的試驗(yàn)條件

在A1水平下進(jìn)行了三次試驗(yàn)：#1，#2，#3，而在這三次試驗(yàn)中因子B的三個(gè)水平各進(jìn)行了一次試驗(yàn)，因子C的三個(gè)水平也各進(jìn)行了一次試驗(yàn)。

在A2水平下進(jìn)行了三次試驗(yàn)：#4，#5，#6，在這三次試驗(yàn)中因子B與C的三個(gè)水平各進(jìn)行了一次試驗(yàn)。

在A3水平下進(jìn)行了三次試驗(yàn)：#7，#8，#9，在這三次試驗(yàn)中因子B與C的三個(gè)水平各進(jìn)行了一次試驗(yàn)。

第六十九頁，共九十三頁。將全部試驗(yàn)分成三個(gè)組，那么這三組數(shù)據(jù)間的差異就反映了因子A的三個(gè)水平的差異，為此計(jì)算各組數(shù)據(jù)的和與平均：

T1=y1+y2+y3=160+215+180=555

=T1/3=185

T2=y4+y5+y6=168+236+190=594

=T2/3=198

T3=y7+y8+y9=157+205+140=502

=T3/3=167.3

同理

對因子B與C將數(shù)據(jù)分成三組分別比較

第七十頁，共九十三頁。所有計(jì)算列在下面的計(jì)算表中

例2.3-1直觀分析計(jì)算表

第七十一頁，共九十三頁。（2）各因子對指標(biāo)影響程度大小的分析極差的大小反映了因子水平改變時(shí)對試驗(yàn)結(jié)果的影響大小。這里因子的極差是指各水平平均值的最大值與最小值之差，譬如對因子A來講：

RA=198－167.3=30.7

其它的結(jié)果也列在上表中。從三個(gè)因子的極差可知因子B的影響最大，其次是因子A，而因子C的影響最小。

第七十二頁，共九十三頁。（3）各因子不同水平對指標(biāo)的影響圖從圖上可以明顯地看出每一因子的最好水平A2，B2，C3，也可以看出每個(gè)因子對指標(biāo)影響的大小RB>RA>RC。

CBA22020519017516090011001300101112708090RARBRC圖2.3-2因子各水平對輸出力矩的影響

第七十三頁，共九十三頁。由于正交表的特點(diǎn)，使試驗(yàn)條件均勻分布在試驗(yàn)空間中，因此使數(shù)據(jù)間具有整齊可比性，上述的直觀分析可以進(jìn)行。但是極差大到什么程度可以認(rèn)為水平的差異確實(shí)是有影響的呢？

2.數(shù)據(jù)的方差分析

要把引起數(shù)據(jù)波動的原因進(jìn)行分解，數(shù)據(jù)的波動可以用離差平方和來表示。

第七十四頁，共九十三頁。正交表中第j列的離差平方和的計(jì)算公式：

其中Tij為第j列第i水平的數(shù)據(jù)和，T為數(shù)據(jù)總和，n為正交表的行數(shù)，q為該列的水平數(shù)

該列表頭是哪個(gè)因子，則該Sj即為該因子的離差平方和，譬如SA=S1

正交表總的離差平方和為：

在這里有：第七十五頁，共九十三頁。[例2.3-1]的方差分析計(jì)算表第七十六頁，共九十三頁。第4列上沒有放因子，稱為空白列。S4僅反映由誤差造成的數(shù)據(jù)波動，稱為誤差平方和。Se=S4利用可以驗(yàn)證平方和的計(jì)算是否正確。第七十七頁，共九十三頁。[例2.3-1]的方差分析表因子A與B在顯著性0.10與0.05上都是顯著的，而因子C不顯著。第七十八頁，共九十三頁。3.最佳條件的選擇對顯著因子應(yīng)該取最好的水平；對不顯著因子的水平可以任意選取，在實(shí)際中通常從降低成本、操作方便等角度加以選擇。上面的例子中對因子A與B應(yīng)該選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1。第七十九頁，共九十三頁。4.貢獻(xiàn)率分析方法當(dāng)試驗(yàn)指標(biāo)不服從正態(tài)分布時(shí),進(jìn)行方差分析的依據(jù)就不夠充足,此時(shí)可通過比較各因子的“貢獻(xiàn)率”來衡量因子作用的大小。由于S因中除因子的效應(yīng)外，還包含誤差，從而稱S因-f因Ve為因子的純離差平方和，將因子的純離差平方和與ST的比稱為因子的貢獻(xiàn)率。（四）驗(yàn)證試驗(yàn)對A2B2C1進(jìn)行三次試驗(yàn)，結(jié)果為：234，240，220，平均值為231.3此結(jié)果是滿意的第八十頁，共九十三頁。三、有交互作用的正交設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析例2.3-2為提高某種農(nóng)藥的收率，需要進(jìn)行試驗(yàn)。（一）試驗(yàn)的設(shè)計(jì)明確試驗(yàn)?zāi)康拿鞔_試驗(yàn)指標(biāo)確定試驗(yàn)中所考慮的因子與水平，并確定可能存在并要考察的交互作用選用合適的正交表。第八十一頁，共九十三頁。在本例中：試驗(yàn)?zāi)康模禾岣咿r(nóng)藥的收率試驗(yàn)指標(biāo)：收率確定因子與水平以及所要考察的交互作