破解橢圓中最值問題的常見策略

1、破解橢圓中最值問題的常見策略第一類：求離心率的最值問題破解策略之一：建立a, b, c的不等式或方程2例1 ：若A,B為橢圓xa 2y 21（a b 0）的長軸兩端點(diǎn)，Q為橢圓上一點(diǎn)，使 AQB 1200，求此橢圓離心率的最小值。分析：建立a,b,c之間的關(guān)系是解決離心率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化為邊的思想，但條件又不是與焦點(diǎn)有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中x, y的取值進(jìn)行求解離心率的最值。解：不妨設(shè) A(a,O),B( a,0),Q(x, y)，則 Raqyo，利用到角公式及 AQB 120得：aytan 12O0 ya(xa），又點(diǎn)A在橢圓上

2、,故x22b7 y，消去x，化間得y 、3c2又 b即 2ab 2,3c2b 則 4a2(a2c2)3c4，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的高次不等式 3e4 4e240解得e31。故橢圓離心率的最小值為_6。（或2ab33.，3（a f），得：0 彳彳，由e J （：）2，故 ye 1)(注:本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）點(diǎn)評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何建立a,b,c之間的關(guān)系。常用橢圓上的點(diǎn)（x, y）表示成a, b,c，并利用橢圓中x, y的取值來求解范圍問題或用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求范圍2 2例2：已知橢圓C:務(wù)與1（a b 0）兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，如果曲

3、線C上存在一點(diǎn)Q，使F1Q F2Q，求橢圓離心 a b率的最小值。分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例1中所提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會有不錯(cuò)的效果。解：根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得:2cPF1PF2PF1PF22a故sincossin 90sinsinsincos12，故橢圓離心率的最小值為.2 sin（ 450）點(diǎn)評：對于此法求最值問題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。第二類：求點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線）的最值問題破解策略之三：建立相關(guān)函數(shù)并求函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法）2 2例3：（ 05年上海）點(diǎn)A、B分別是橢圓x

4、 L 1長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn) F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在橢圓上，且3620位于x軸上方，PA PF。1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于I MB I，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn) M的距離d的最小值。分析：解決兩點(diǎn)距離的最值問題是給它們建立一種函數(shù)關(guān)系，因此本題兩點(diǎn)距離可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。解：（1）略（2）直線AP的方程是x 3 y+6=0。設(shè)點(diǎn)M（ m ,0）,則M到直線AP的距離是十口 |m6|,于是=m 6 ,又6 m m m 6解得m =2。設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x , y ）到點(diǎn)M距離dd2 (x 2)2 y2x 4x24 205x2- (x9)21

5、5,由于6mm 6,當(dāng) x =9 時(shí),d 取得最小值9922點(diǎn)評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何將點(diǎn)點(diǎn)之間的最值問題轉(zhuǎn)化成我們常見函數(shù)一一二次函數(shù)的最值問題求解。破解策略之四：利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化例4 :定長為d d 泌的線段AB 的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓筍獸1（a b 0）上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線I的最短距離。*1FJi解：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖作AAI 于 A,BB丄I于B, MM丄I于M，則| MM / |AA /BB /AFeBFe2eAF 丨 | BFAB2ed2e當(dāng)且僅當(dāng)AB過焦點(diǎn)F時(shí)等號成立。故 M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為 。2e2b2點(diǎn)評： 乩是橢圓的通徑長，是橢圓焦點(diǎn)弦長

6、的最小值a2b2,d 絲是AB過焦點(diǎn)的充要條件。通過定義轉(zhuǎn)化避免各種a煩瑣的運(yùn)算過程。第五類：求線段之和（或積）的最值問題破解策略之五：利用垂線段小于等于折線段之和。2x例7:若橢圓一42y1內(nèi)有一點(diǎn)P 1,1 , F為右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn) M使得|MP | 2|MF |的值最小，則點(diǎn) M的32.6(,1) B .3333 ,1)C . (1, 3)D.匹)1提示：聯(lián)系到e 將2 |MF |用第一定義轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離問題，利用垂線段最短的思想容易得到正確答2案。選B。思考：將題中的 2去掉會怎樣呢？破解策略之六：利用三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊例&如圖，在直線l :

7、 x y 90上任意取一點(diǎn) M，經(jīng)過M點(diǎn)且以橢圓2x122y1的焦點(diǎn)作橢圓，問當(dāng) M在何3處時(shí)，所作橢圓的長軸最短，并求出最短長軸為多少？分析：要使所作橢圓的長軸最短， 當(dāng)然想到橢圓的定義。 基本的解題思路如下：長軸最短三點(diǎn)一直線尋求對稱對稱變換。在一系列的變化過程中巧妙的運(yùn)用對稱，使我們找到一種簡明的解題方法。通過此對稱性主要利用| NF! | | NF2 | | F2 F1/ |解：橢圓的兩焦點(diǎn)分別為 Fi （- 3, 0） 作F1關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)F；，則直線F1F1的方程為x y 3x y3由方程組得p的坐標(biāo)（一6,3）,x y9由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的 F；坐標(biāo)（一9,6 ）,所以直線F2

8、F1的方程x解方程組 2y 3得m點(diǎn)坐標(biāo)（5,4）。由于F1F2J180 2a 6/5,x y 9點(diǎn)評：對于此類最值問題是將所求的最值轉(zhuǎn)化成三角形兩邊之和大于第三邊或兩點(diǎn)連線最短、垂線段最短的思想。解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：（1）給出直線的方向向量 u 1, k 或u m,n ；（2）給出OA OB與AB相交，等于已知OA OB過AB的中點(diǎn)；（3） 給出PM 一 PN0 ,等于已知P是MN的中點(diǎn)；（4）給出AP AQ BP BQ ,等于已知 代B與PQ的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;（5） 給出以下情形之一： AB / AC ；存在實(shí)數(shù) ，使ABAC ;若存在實(shí)數(shù)UULffUUU UUU,且1,

9、使OC OA OB,等于已知A,B,C三點(diǎn)共線. OA OB（6） 給出OP，等于已知P是AB的定比分點(diǎn)， 為定比，即 AP PB1（7） 給出MA MB 0 ,等于已知MA MB ,即 AMB是直角，給出MA MB m 0,等于已知 AMB是鈍角， 給出MA MB m 0,等于已知 AMB是銳角，（8）給出MA MBMA MBMP ,等于已知MP是 AMB的平分線/（9）在平行四邊形 ABCD中，給出（AB AD） （AB AD） 0，等于已知 ABCD是菱形；uuu uuur uuu uult（10）在平行四邊形 ABCD中，給出|AB AD | | AB AD |，等于已知 ABCD是矩形；-2 -2 2（11）在 ABC中，給出OA OB OC，等于已知O是 ABC的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心 是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；（12）在 ABC中，給出OA OB OC 0,等于已知O是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交 點(diǎn)）；（13）在 ABC中，給出OA OB OB OC OC OA，等于已知 O是 ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；（14）在 ABC中，給出OP OAmuuuur(-uuuuuu)(|AB| |AC