非高斯隨機振動數(shù)值模擬技術(shù)綜述

非高斯隨機振動數(shù)值模擬技術(shù)綜述

施工期間，結(jié)構(gòu)通常伴隨著地震、風、波浪等環(huán)境壓力的振動激勵。根據(jù)中心極限定理,一般把隨機振動近似成高斯分布。但是,在實際應用中發(fā)現(xiàn)有些振動載荷呈現(xiàn)明顯的非高斯特征,此時評估結(jié)構(gòu)在這種非高斯振動載荷下的安全性和可靠性就必須考慮非高斯激勵對系統(tǒng)響應的影響。在一系列非高斯結(jié)構(gòu)響應分析方法中,由于計算效率的提高,仿真方法得到越來越廣泛的應用。采用仿真方法需要模擬具有指定統(tǒng)計特性和頻譜特性的載荷時間歷程。當系統(tǒng)激勵明顯偏離高斯分布時,必須精確模擬振動的非高斯特征。因為系統(tǒng)的極值響應對載荷的高峰值激勵特別敏感,而響應偏離高斯分布的程度將嚴重影響系統(tǒng)振動疲勞損傷累積快慢。現(xiàn)有各種模擬非高斯隨機振動的方法大致可分為兩類:ARMA法和FFT法。ARMA法基于線性差分方程,計算簡便,但不能顯示出在不規(guī)則區(qū)間上具有極大幅值脈沖信號的特征,因此不完全適合于模擬非高斯隨機時間系列。Yamazaki和Shinozuka通過FFT或ARMA模型生成高斯時間系列,采用非線性靜態(tài)變換(Non-linearStaticTransform)的方法映射到非高斯樣本函數(shù),生成多維非高斯隨機均勻場。Gurley等也提出一些模擬非高斯隨機過程的方法,如靜態(tài)轉(zhuǎn)換(StaticTransform)法、記憶性轉(zhuǎn)換(TransformwithMemory)法等,隨后進一步改進為譜校正(SpectraCorrection)模擬方法。借助該類模擬方法生成單變量、多變量非高斯隨機過程,用來描述作用于建筑物頂?shù)娘L速/壓時程,與實測結(jié)果吻合較好。Kumar和Stathopolous采用基于FFT方法模擬了單變量非高斯風壓時程,用于大跨低矮屋蓋風振分析。Phoon和Huang提出采用Karhunen-Loeve多項式擴展來模擬強非高斯過程。國內(nèi)開展非高斯隨機過程的模擬研究相對較晚。蔣瑜提出基于二次相位調(diào)制和時域隨機化的超高斯隨機振動模擬方法。李錦華和李春祥基于Johnson轉(zhuǎn)換系統(tǒng)和數(shù)字濾波理論,提出一種能夠快速而有效的生成指定偏度、峰度和功率譜非高斯脈動風壓的方法?，F(xiàn)有各種非高斯隨機模擬方法一般只能模擬具有高峰值特征的隨機振動,即超高斯隨機振動,并且算法復雜不夠直觀,需要進行多次反復迭代,模擬精度和效率都有待提高。本文提出了一種新的基于幅值調(diào)制和相位重構(gòu)的非高斯隨機振動數(shù)值模擬方法,算法簡潔直觀,并充分利用快速傅里葉變換算法提高模擬效率,可模擬具有指定統(tǒng)計特性和頻譜特性的超高斯和亞高斯隨機振動,具有廣泛的適應性。1隨機過程的功率譜密度一種常用的三角級數(shù)合成法模型采用確定性幅值和隨機相位的疊加來模擬高斯隨機過程,例如一個零均值的平穩(wěn)高斯隨機過程可以由下式逼近:這里Ak由下式根據(jù)目標功率譜密度得到:式中:fu是功率譜的頻率上限,φk為在[0,2π)中均勻分布的隨機相位角。為提高三角級數(shù)合成法模擬隨機過程的速度,Shinozuka等人將FFT引入合成模型,式(1)可寫成:這里Re{·}取實部,M是采樣點數(shù),時間間隔Δt根據(jù)采樣頻率fs得到:根據(jù)采樣定理,fs必須滿足:顯然:這樣M和N必須滿足M≥2N。將式(4),式(6)和式(8)代入式(5)得:這里:注意M一般選為2的整數(shù)次冪以便應用快速傅里葉變換。當N>100時,由式(1)或式(5)得到的x(t)將接近高斯分布。由于高斯隨機過程二階以上的高階統(tǒng)計量恒為零,所以僅用功率譜密度或自相關(guān)函數(shù)就能完整表征。而對非高斯隨機過程,在工程中還通常要采用偏斜度S和峭度K這兩個參數(shù)來描述,定義如下:高斯隨機過程X的偏斜度和峭度值都等于零,而非高斯隨機過程的偏斜度和峭度值則至少有一個不為零。偏斜度用來描述隨機過程幅值概率密度曲線偏離對稱分布的程度,偏斜度不等于零表示服從非對稱分布。峭度是描述隨機過程幅值概率密度曲線拖尾分布特征的參數(shù),它不僅可以用來區(qū)分高斯和非高斯隨機過程,而且還可進一步將非高斯隨機過程區(qū)分為亞高斯和超高斯隨機過程,其中亞高斯隨機過程的K<0,超高斯隨機過程的K>0。根據(jù)傅里葉幅值A(chǔ)k的表達式可以看出,對相位Φk的任何調(diào)整都不會影響生成隨機過程的功率譜密度。因此,在保證不改變幅值A(chǔ)k(從而保證功率譜密度的精確模擬)的前提下,可以通過改變相位Φk來控制生成隨機過程的偏斜度和峭度值,下面對此進行具體分析。2對幅值分布的非高斯隨機信號的幅值調(diào)制如何根據(jù)所要模擬的隨機過程的非高斯特性(如偏斜度、峭度值)對式(10)中參與IFFT變換的相位Φk進行重構(gòu),是成功模擬非高斯隨機過程的關(guān)鍵。目前已有的一些相位重構(gòu)方法比較復雜,不夠直觀,需要進行多次反復迭代,模擬精度和效率較低。由于非高斯隨機過程與高斯隨機過程的顯著差異在于其幅值概率密度分布曲線,因此可以考慮直觀地通過對高斯過程的幅值分布進行調(diào)制,使其幅值概率密度曲線逼近所需的非高斯特性,再借助傅里葉變換提取相位,得到與目標偏斜度、峭度值相匹配的重構(gòu)相位。整個算法流程如圖1所示,共分為九個步驟。其中第六步對高斯隨機過程的樣本x[n]進行幅值調(diào)制以得到重構(gòu)的相位是其中的關(guān)鍵,其具體實現(xiàn)過程如下。設x[n]為采用傳統(tǒng)模擬方法得到的高斯隨機過程的一個樣本,則對x[n]采用式(12)、式(13)的幅值調(diào)制公式實現(xiàn)幅值分布從高斯到非高斯的調(diào)制。其中,式(12)是針對超高斯信號的幅值調(diào)制公式,式(13)是針對亞高斯信號的幅值調(diào)制公式。其中:p=-α×σ。q=β×σ。σ為高斯隨機信號x的均方根值。與絕大部分幅值(99.74%)都分布在正負三倍均方根值之內(nèi)的高斯隨機信號相比,超高斯隨機信號的幅值在正負三倍均方根值之外有更多的分布,概率密度曲線的拖尾比高斯的更寬;而亞高斯隨機信號的幅值在正負三倍均方根值之內(nèi)則有更多的分布,概率密度曲線的拖尾比高斯的更窄。因此,一般選取1≤α,β≤3即可。從式(12)可以看出,對峭度值較大的超高斯信號來說,α,β的取值應盡量接近3,這樣可供調(diào)節(jié)的幅值數(shù)目較多,有利于增加幅值調(diào)制后信號的峭度值;類似從式(13)也可以看出,對峭度值小于零的亞高斯信號來說,α,β的取值則應盡量接近1,這樣可供調(diào)節(jié)的幅值數(shù)目較多,有利于降低幅值調(diào)制后信號的峭度值。另一方面,α,β取值的相同與否決定了調(diào)整后幅值分布的對稱與否,從而起到控制偏斜度值的作用。如果α>β,則幅值分布向負半軸偏移,偏斜度為負值;如果α<β,則幅值分布向正半軸偏移,偏斜度為正值;如果α=β,則生成的是對稱分布的非高斯隨機信號。具體調(diào)制過程中,可根據(jù)式(12)、式(13)對原離散高斯信號的幅值逐一進行調(diào)制,每次進行調(diào)制后計算調(diào)制信號的偏斜度、峭度值并與目標值進行比較,這樣通過逐步迭代達到目標值。由于這種采用幅值調(diào)制來逼近非高斯參數(shù)的方法比其他采用相位調(diào)制間接逼近的方法更直接,所以能很快逼近目標值,效率和精度都有較大提高。3算法有效性驗證選取圖2所示功率譜密度曲線為所要模擬各種隨機振動信號的目標譜GT(f),該頻譜為20～2000Hz上的寬帶平直譜,功率譜密度量級為0.02g2/Hz,加速度總均方根值σ約為6.29g。由于fu=2000Hz,根據(jù)采樣定理確定fs=5120Hz,M=4096,Δf=1.25Hz,以下模擬過程均采用上述參數(shù)。首先模擬目標譜為GT(f)、目標峭度值KT為3.8的對稱超高斯隨機振動信號(即目標偏斜度值ST為0)。需要說明的是,這里所說的目標峭度值3.8為式(11)中所定義的歸零化峭度值,相當于其他文獻中定義的非歸零化峭度值6.8,以下不再單獨說明。圖3根據(jù)圖1所示模擬算法流程中第五步得到的高斯信號,其幅值概率密度分布曲線如圖4中藍色短劃線所示,顯然與圖4中紅色實線所示標準正態(tài)分布曲線很接近。圖5是對高斯信號按照式(12)進行幅值調(diào)制后得到的調(diào)制信號,其幅值概率密度分布曲線如圖4中綠色點線所示,顯然已經(jīng)具有超高斯分布,但由于幅值調(diào)制的緣故其功率譜密度已經(jīng)偏離目標譜。圖6是對調(diào)制信號進行傅里葉變換后重構(gòu)的超高斯相位,作為下一步進行傅里葉逆變換所需的相位。圖7是利用重構(gòu)相位進行傅里葉逆變換后得到的最終模擬的超高斯信號,其概率密度分布曲線如圖4中黃色點劃線所示,其峭度值為3.7850,接近目標值3.8;其偏斜度值為-0.0398,接近對稱分布;同時由于式(2)的關(guān)系,其功率譜密度嚴格等于目標譜GT(f),均方根值也等于6.29g。為充分驗證算法的有效性,再次模擬目標譜為GT(f),目標峭度值KT為-0.6,目標偏斜度值為0.35的非對稱亞高斯隨機振動信號,結(jié)果如圖8～圖11所示。圖9是對高斯信號按照式(13)進行幅值調(diào)制后得到的調(diào)制信號,其幅值概率密度分布曲線如圖8中綠色點線所示,顯然已經(jīng)具有非對稱亞高斯分布。圖10是對調(diào)制信號進行傅里葉變換后重構(gòu)的亞高斯相位。圖11是利用重構(gòu)相位進行傅里葉逆變換后得到的非對稱亞高斯信號,其概率密度分布曲線如圖8中黃色點劃線所示,其峭度值為-0.6054,接近目標值-0.6;其偏斜度值為