ch4各態(tài)歷經(jīng)性與隨機(jī)模擬

1、2022/8/41/41隨機(jī)信號(hào)分析第4章 各態(tài)歷經(jīng)性與隨機(jī)實(shí)驗(yàn) 2/412022/8/4第4章 各態(tài)歷經(jīng)性與隨機(jī)實(shí)驗(yàn)問題： 大多數(shù)的隨機(jī)信號(hào)要用實(shí)測樣本表達(dá)；并由實(shí)測樣本數(shù)據(jù)去探測信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性。4.1 各態(tài)歷經(jīng)性結(jié)果： 測量工作量巨大3/412022/8/4例：某隨機(jī)電壓4/412022/8/4對(duì)于某固定時(shí)刻 t ，統(tǒng)計(jì)平均（集總平均）為： 對(duì)于某個(gè)樣本的-T,T上一段選 m 個(gè)點(diǎn)，該 m 個(gè)值的平均值的極限（樣本的局部時(shí)間平均）為：5/412022/8/4當(dāng) 時(shí)：是整個(gè)樣本的時(shí)間平均 若用一條樣本的時(shí)間平均代替統(tǒng)計(jì)平均，則可大大地減少測量工作量和測量難度。理論基礎(chǔ)是信號(hào)的各態(tài)歷經(jīng)性理論6

2、/412022/8/4各態(tài)歷經(jīng)的含義：如果觀察時(shí)間足夠長，每個(gè)樣本都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種狀態(tài)，從一個(gè)樣本上就可以提取隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)特性。貝努力隨機(jī)信號(hào) 熱噪聲電壓 隨機(jī)相位正弦波都是各態(tài)歷經(jīng)R.S.各態(tài)歷經(jīng)性又稱為遍歷性7/412022/8/4嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)：所有統(tǒng)計(jì)參數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性廣義各態(tài)歷經(jīng)：均值和相關(guān)函數(shù)同時(shí)具有各態(tài)歷經(jīng)性應(yīng)用與研究中特別關(guān)注廣義各態(tài)歷經(jīng)性。 名稱 基本特征 均值各態(tài)歷經(jīng) 統(tǒng)計(jì)平均 = 樣本時(shí)間平均相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng) 統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù) = 樣本時(shí)間相關(guān)函數(shù)一階分布各態(tài)歷經(jīng) 一階概率分布 = 一階分布時(shí)間平均各態(tài)歷經(jīng)分類：8/412022/8/44.1.1 均值各態(tài)歷經(jīng)1.

3、 隨機(jī)信號(hào)樣本時(shí)間平均(1) 隨機(jī)信號(hào) X(t) 的樣本時(shí)間平均是樣本的函數(shù)，因而是一個(gè)R.V.9/412022/8/4(2) 時(shí)間平均的統(tǒng)計(jì)平均均值平穩(wěn)時(shí)10/412022/8/4(3) 時(shí)間平均的方差均值平穩(wěn)時(shí)11/412022/8/42. 均值各態(tài)歷經(jīng) 均值各態(tài)歷經(jīng)要滿足的條件：（1）隨機(jī)信號(hào)X(t,)的統(tǒng)計(jì)平均 EX(t)與t無關(guān)（2）隨機(jī)信號(hào)X(t,)時(shí)間平均AX(t)要與無關(guān)，且 的函數(shù)t 的函數(shù)12/412022/8/4定義：設(shè) X(t) 是均值平穩(wěn)的隨機(jī)過程，若其 AX(t) 與 EX(t)在均方誤差 MSE (mean square error)為零的意義下相等，即則稱 X(

4、t) 具有均值各態(tài)歷經(jīng)性?；蛴洖椋?3/412022/8/4等價(jià)定義：設(shè) X(t) 是均值平穩(wěn)的隨機(jī)過程，若其 AX(t) 與 EX(t)依概率1相等，即則稱 X(t) 具有均值各態(tài)歷經(jīng)性。14/412022/8/4可能均值各態(tài)歷經(jīng)非均值各態(tài)歷經(jīng)例：是R.V.各個(gè)樣本的時(shí)間平均大致相同且等于統(tǒng)計(jì)平均15/412022/8/4定理4.1 （均值各態(tài)歷經(jīng)性判斷條件）若信號(hào)廣義平穩(wěn)，則（1）充分條件為： , 且（2）充要條件為：（3）充要條件為：16/412022/8/4對(duì)于隨機(jī)序列，時(shí)間平均由下式計(jì)算，判斷條件相仿，比如充分條件： 17/412022/8/4例 4.1 假定實(shí)隨機(jī)信號(hào)X(t)=C，

5、其中C是隨機(jī)變量，方差 ,為常數(shù)。討論X(t)的均值各態(tài)歷經(jīng)性。解一：方差 ，則X(t)的樣本如圖示：18/412022/8/4隨機(jī)變量故X(t)非均值各態(tài)歷經(jīng)均值平穩(wěn)19/412022/8/4如果 ,則只有一個(gè)樣本,此時(shí)X(t)均值各態(tài)歷經(jīng)故X(t)非均值各態(tài)歷經(jīng) 所以 X(t)是WSS的解二：20/412022/8/4解：例4.2 設(shè)隨機(jī)信號(hào) ，其中 A 為常量，n(t) 是白噪聲。且 ，討論其均值各態(tài)歷經(jīng)性。，利用定理4.1的（2）： 故 X(t ) 是均值各態(tài)歷經(jīng) 均值平穩(wěn)廣義平穩(wěn)21/412022/8/4例： 若隨機(jī)信號(hào)X(t)是廣義平穩(wěn)的，均值 m=2 或 3 ，其相關(guān)函數(shù)為如圖所

6、示的各種情況。試判斷各種情況下隨機(jī)信號(hào)的均值各態(tài)歷經(jīng)性。 1525209m2m2m2m322/412022/8/44.1.2 相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)1.時(shí)間相關(guān)函數(shù)(1) 時(shí)間相關(guān)函數(shù)是的函數(shù)，是的函數(shù)，是一個(gè)R.S.-TTt23/412022/8/4(2) 時(shí)間相關(guān)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均24/412022/8/4(3) 時(shí)間相關(guān)函數(shù)的方差廣義平穩(wěn)時(shí)25/412022/8/4 相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)要滿足的條件：（1）隨機(jī)信號(hào)X(t)的統(tǒng)計(jì)相關(guān) EX(t +)X(t)與t無關(guān)（2）隨機(jī)信號(hào)X(t)時(shí)間相關(guān) AX(t +)X(t)要與無關(guān)，且 2. 相關(guān)各態(tài)歷經(jīng) ,的函數(shù)t ,的函數(shù)即時(shí)間相關(guān)取一個(gè)確定函數(shù)。26/4120

7、22/8/4定義： 對(duì)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)，若其 AX(t +)X(t) 與 EX(t +)X(t)依概率1相等，即則稱 X(t) 具有相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)性。27/412022/8/4定理4.2：若X(t)是廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是：其中：即X(t)的相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)就是Z(t)的均值各態(tài)歷經(jīng)28/412022/8/43. 廣義各態(tài)歷經(jīng)定義：若隨機(jī)信號(hào) 同時(shí)滿足均值和自相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)，則稱該信號(hào)為廣義各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)。注意：各態(tài)歷經(jīng)的前提是平穩(wěn)，但平穩(wěn)過程不一定各態(tài)歷經(jīng)。即各態(tài)歷經(jīng)過程是平穩(wěn)過程的子集。若 WSS.R.S.X(t) 是零均值高斯信號(hào)，則其相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)的

8、充要條件為：29/412022/8/4解：(1)平穩(wěn)性：按定義 例4.3 s(t)是一個(gè)周期為 T 的函數(shù)， , 隨機(jī)周期函數(shù) , 比如， .討論 X(t) 的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。30/412022/8/4廣義平穩(wěn)31/412022/8/4(2)各態(tài)歷經(jīng)性：（時(shí)間平均中改用變量L)可見X(t)為均值各態(tài)歷經(jīng)的。32/412022/8/4它也是相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)的。所以，是廣義各態(tài)歷經(jīng)的。 33/412022/8/4例: 設(shè)隨機(jī)過程 ，其中A、和為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量；而且，A的均值為2，方差為4，在-5，5上均勻分布，在 上均勻分布。試問過程 是否廣義平穩(wěn)？其是否具有遍歷性？ 解：（1）因?yàn)?A、

9、和為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,且在 上均勻分布34/412022/8/4因此 是廣義平穩(wěn)過程. 35/412022/8/4（2） 可見,因此 均值不具有遍歷性，36/412022/8/4因此 非相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)，非廣義各態(tài)歷經(jīng)37/412022/8/4例: 設(shè) ，其中 具有概率分布 ，試討論 是否廣義各態(tài)歷經(jīng)性。 解：由于 因此 是廣義平穩(wěn)過程，其時(shí)間平均為： 38/412022/8/4時(shí)間相關(guān)函數(shù) 由于 ,故 不具均值各態(tài)歷經(jīng)性.故 不具相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)性。作業(yè)：4.1 4.2 4.4 4.5 4.6因此 不具廣義各態(tài)歷經(jīng)性.39/412022/8/4 各態(tài)歷經(jīng)的工程意義(1)時(shí)間平均的工程意義設(shè)X(t)為電壓（或電流）隨機(jī)信號(hào)X(t)的直流